Mathématiques — Terminale

Compter méthodiquement : principes additif et multiplicatif, k-uplets, parties d'un ensemble, k-uplets d'éléments distincts et permutations, combinaisons et coefficients binomiaux, relation et triangle de Pascal, avec des algorithmes en Python.

Étendre les vecteurs à l'espace, caractériser une droite par un point et un vecteur directeur et un plan par un point et deux vecteurs non colinéaires, étudier les positions relatives de droites et de plans, reconnaître des vecteurs coplanaires, puis travailler dans une base et un repère de l'espace avec des coordonnées.

Étendre le produit scalaire à l'espace, le calculer en repère orthonormé, l'utiliser pour démontrer des orthogonalités de droites et de plans, définir le vecteur normal à un plan et le projeté orthogonal sur une droite ou un plan, puis calculer des distances, des angles, des aires et des volumes.

Décrire une droite de l'espace par une représentation paramétrique et un plan par une équation cartésienne, passer d'une description géométrique à une description analytique, puis résoudre des systèmes pour étudier les intersections de droites et de plans et calculer des projetés orthogonaux et des distances.

Modéliser une succession d'épreuves indépendantes, définir l'épreuve et la loi de Bernoulli, puis la loi binomiale comme loi du nombre de succès dans un schéma de Bernoulli ; calculer des probabilités avec les coefficients binomiaux, la calculatrice ou Python, et résoudre des problèmes de seuil et d'intervalle.

Étudier la somme de deux variables aléatoires, utiliser la linéarité de l'espérance et l'additivité de la variance pour des variables indépendantes, en déduire l'espérance et la variance de la loi binomiale, puis étudier la somme et la moyenne d'un échantillon de variables indépendantes de même loi.

Majorer la probabilité qu'une variable aléatoire s'écarte de son espérance grâce à l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, en déduire l'inégalité de concentration pour la moyenne d'un échantillon et la loi des grands nombres, puis déterminer une taille d'échantillon et illustrer ces résultats par des simulations en Python.

Démontrer une propriété pour tous les entiers grâce au raisonnement par récurrence (initialisation, hérédité), l'utiliser pour établir une formule explicite, une somme, une divisibilité ou une inégalité, et pour étudier les bornes et le sens de variation d'une suite définie par u(n+1) = f(u(n)).

Définir rigoureusement la limite infinie et la limite finie d'une suite, calculer des limites par opérations et par comparaison (théorème des gendarmes), connaître le comportement de q^n et le théorème de convergence monotone, puis étudier des suites définies par récurrence et programmer une recherche de seuil.

Étendre la notion de limite aux fonctions : limites en l'infini et en un réel, asymptotes parallèles aux axes, opérations et formes indéterminées, limites par comparaison, limites de l'exponentielle et croissances comparées.

Composer deux fonctions et dériver une composée, calculer une dérivée seconde, reconnaître une fonction convexe ou concave (sécantes, tangentes, signe de f''), repérer un point d'inflexion et démontrer des inégalités grâce à la convexité.

Définir la continuité d'une fonction, relier dérivabilité et continuité, utiliser l'image d'une suite convergente par une fonction continue pour trouver la limite d'une suite récurrente, puis appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité de solutions d'équations et les approcher par dichotomie.

Définir le logarithme népérien comme fonction réciproque de l'exponentielle, utiliser ses propriétés algébriques pour résoudre équations, inéquations et problèmes de seuil, étudier la fonction ln (dérivée, variations, limites, croissances comparées) et modéliser des phénomènes exponentiels.

Définir les fonctions sinus et cosinus à partir du cercle trigonométrique, exploiter leur parité et leur périodicité, tracer leurs courbes, les dériver et étudier des fonctions trigonométriques, résoudre des équations et inéquations du type cos x = a ou cos x ≤ a sur [−π ; π].

Résoudre l'équation différentielle y' = f en cherchant des primitives, connaître les primitives usuelles et les formes composées, puis résoudre les équations différentielles y' = ay, y' = ay + b et y' = ay + f, avec une condition initiale, pour modéliser des phénomènes d'évolution ; méthode d'Euler en Python.

Définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme une aire, la relier aux primitives, calculer des intégrales avec une primitive ou par intégration par parties, utiliser la linéarité, la relation de Chasles et l'intégration des inégalités, calculer des aires entre courbes et des valeurs moyennes, et approcher une intégrale par la méthode des rectangles.

Travailler dans ℤ : divisibilité et combinaisons linéaires, division euclidienne (existence et unicité), congruences modulo n et leur compatibilité avec les opérations, pour calculer des restes, établir des critères de divisibilité et résoudre des congruences simples.

Calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide, écrire le PGCD comme combinaison au + bv, caractériser les entiers premiers entre eux par le théorème de Bézout, démontrer et utiliser le théorème de Gauss, puis résoudre des équations diophantiennes ax + by = c et des congruences grâce à l'inverse modulo n.

Reconnaître un nombre premier et le crible d'Ératosthène, démontrer que les nombres premiers sont en nombre infini, décomposer un entier en produit de facteurs premiers et s'en servir (diviseurs, PGCD), puis utiliser le petit théorème de Fermat pour calculer des restes, tester la primalité et comprendre le chiffrement RSA.

Découvrir l'ensemble ℂ des nombres complexes : forme algébrique, parties réelle et imaginaire, opérations, conjugué et ses propriétés, inverse et quotient, équations du premier degré et équations faisant intervenir z et son conjugué, formule du binôme de Newton.

Représenter les nombres complexes dans le plan : affixe d'un point et d'un vecteur, module et distance, propriétés du module (produit, puissance, inverse), ensemble 𝕌 des complexes de module 1, arguments et forme trigonométrique, ensembles de points définis par un module.

Démontrer les formules d'addition à partir du produit scalaire, en déduire les arguments d'un produit, d'un quotient et d'une puissance, introduire l'exponentielle imaginaire et la forme exponentielle, puis utiliser les formules de Moivre et d'Euler pour calculer des puissances et transformer des expressions trigonométriques.

Résoudre dans ℂ les équations du second degré à coefficients réels, factoriser zⁿ − aⁿ par z − a, factoriser un polynôme par z − a quand a est racine, démontrer qu'un polynôme de degré n a au plus n racines, et résoudre des équations de degré 3 dont une racine est connue.

Découvrir les matrices et le calcul matriciel : opérations, produit, puissances, inverse d'une matrice carrée ; les utiliser pour résoudre des systèmes linéaires, représenter des transformations du plan et étudier des suites récurrentes couplées Uₙ₊₁ = AUₙ + C.

Utiliser les nombres complexes pour étudier des configurations du plan : interprétation du module et de l'argument de (c − a)/(b − a), alignement, orthogonalité, triangles particuliers ; puis décrire l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité et l'utiliser pour les polygones réguliers.

Modéliser des situations par des graphes : sommets, arêtes, degré, graphe complet, chaînes et connexité ; représenter un graphe (orienté ou non) par sa matrice d'adjacence et compter les chemins de longueur n grâce aux puissances de cette matrice ; découvrir les graphes eulériens.

Modéliser l'évolution aléatoire d'un système à deux ou trois états par une chaîne de Markov : graphe orienté pondéré, matrice de transition, distribution après n transitions π₀Pⁿ, probabilités de transition en n étapes, distribution invariante et comportement à long terme.

Modéliser des expériences aléatoires par des lois discrètes : loi uniforme, loi de Bernoulli, schéma de Bernoulli et loi binomiale (coefficients binomiaux, triangle de Pascal, espérance, écart type, intervalles), loi géométrique et propriété d'absence de mémoire — avec des applications à l'échantillonnage et aux temps d'attente.

Passer des lois discrètes aux lois continues : densité de probabilité, probabilité comme aire, fonction de répartition, espérance ; étude des lois uniformes sur un intervalle et de la loi exponentielle (durée de vie, temps d'attente, absence de mémoire), avec des simulations en Python.

Étudier une série statistique à deux variables : nuage de points, point moyen, covariance, droite des moindres carrés et coefficient de corrélation, ajustements se ramenant à un ajustement affine par changement de variable, interpolation et extrapolation, et distinction entre corrélation et causalité.

Modéliser une évolution par une suite, représenter une suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) pour conjecturer son comportement, comprendre intuitivement la notion de limite, calculer la limite d'une suite géométrique et de la somme de ses termes, étudier les suites arithmético-géométriques et résoudre des problèmes de seuil.

Comprendre les limites d'une fonction en l'infini et en un réel, les relier aux asymptotes, connaître les limites des fonctions de référence, puis utiliser la continuité et le théorème des valeurs intermédiaires pour compter et approcher les solutions d'une équation f(x) = k (balayage, dichotomie).

Compléter les techniques de dérivation (f(ax + b), e^u, u²), étudier des fonctions pour résoudre des problèmes d'optimisation, puis utiliser la dérivée seconde pour étudier la convexité d'une fonction et repérer les points d'inflexion, avec leur interprétation dans des modèles.

Définir le logarithme népérien comme réciproque de l'exponentielle, utiliser sa relation fonctionnelle pour transformer produits en sommes, étudier la fonction ln (dérivée, variations, limites), dériver ln(u), résoudre équations, inéquations et problèmes de seuil, et découvrir l'histoire des logarithmes (Neper, Briggs).

Découvrir les équations différentielles, calculer des primitives (formes usuelles, 2uu', u'e^u, u'/u), résoudre y' = ay et y' = ay + b avec une condition initiale, interpréter l'allure des solutions et les approcher par la méthode d'Euler, sur des modèles physiques et biologiques.

Définir l'intégrale d'une fonction continue positive comme une aire, l'estimer par la méthode des rectangles, des trapèzes ou de Monte-Carlo, la calculer à l'aide d'une primitive, puis calculer des aires entre deux courbes et des valeurs moyennes dans des contextes variés.