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Terminale⏱ 1 heure

Combinatoire et dénombrement — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

  1. 4!4! ?
  2. (52)\dbinom52 ?
  3. Nombre de parties d'un ensemble à 5 éléments ?
  4. (n1)\dbinom{n}{1} ?
  5. Nombre de codes à 3 chiffres (de 0 à 9) ?
  6. (70)\dbinom70 ?
  7. Simplifie 7!5!\dfrac{7!}{5!}.
  8. (108)\dbinom{10}{8} ?
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  1. 2424.
  2. 1010.
  3. 25=322^5 = 32.
  4. nn.
  5. 103=1 00010^3 = 1\,000.
  6. 11.
  7. 7×6=427 \times 6 = 42.
  8. (102)=45\dbinom{10}{2} = 45.

Exercice 2 (6 points) — Mains de cartes

On tire simultanément 4 cartes d'un jeu de 32 cartes (8 cœurs, 8 carreaux, 8 piques, 8 trèfles ; 4 as).

  1. Combien de mains différentes ? (1 point)
  2. Combien de mains contiennent exactement 2 cœurs ? (2 points)
  3. Combien de mains contiennent au moins un cœur ? (1,5 point)
  4. Combien de mains contiennent exactement un as ? (1,5 point)
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  1. (324)=35 960\dbinom{32}{4} = 35\,960.
  2. 2 cœurs parmi 8 et 2 autres cartes parmi les 24 non-cœurs : (82)×(242)=28×276=7 728\dbinom82 \times \dbinom{24}{2} = 28 \times 276 = 7\,728.
  3. Complémentaire (aucun cœur) : (244)=10 626\dbinom{24}{4} = 10\,626. Réponse : 35 960−10 626=25 33435\,960 - 10\,626 = 25\,334.
  4. 1 as parmi 4 et 3 cartes parmi les 28 autres : 4×(283)=4×3 276=13 1044 \times \dbinom{28}{3} = 4 \times 3\,276 = 13\,104.

Exercice 3 (4 points) — Démonstration de cours

Soit EE un ensemble à nn éléments.

  1. Justifie que EE possède 2n2^n parties. (1,5 point)
  2. En comptant les parties de EE selon leur nombre d'éléments, démontre que ∑k=0n(nk)=2n\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom nk = 2^n. (2,5 points)
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  1. Une partie AA de E={e1,…,en}E = \{e_1, \dots, e_n\} est déterminée par la liste des réponses « ei∈Ae_i \in A ? » (oui/non) pour i=1,…,ni = 1, \dots, n : c'est un nn-uplet de {oui ; non}\{\text{oui}\,;\,\text{non}\}, et il y en a 2n2^n.
  2. Les parties à kk éléments sont au nombre de (nk)\dbinom nk, pour k=0,1,…,nk = 0, 1, \dots, n. Ces catégories sont disjointes et couvrent toutes les parties : par le principe additif, ∑k=0n(nk)\displaystyle\sum_{k=0}^n \binom nk est le nombre total de parties, soit 2n2^n.

Exercice 4 (3 points) — Relation de Pascal

Démontre par le calcul que, pour 1⩽k⩽n−11 \leqslant k \leqslant n - 1, (n−1k−1)+(n−1k)=(nk)\dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} = \dbinom nk.

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(n−1k−1)+(n−1k)=(n−1)!(k−1)!(n−k)!+(n−1)!k!(n−1−k)!\dbinom{n-1}{k-1} + \dbinom{n-1}{k} = \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \dfrac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}. On met au dénominateur commun k!(n−k)!k!(n-k)! : (n−1)!×k+(n−1)!×(n−k)k!(n−k)!=(n−1)!×nk!(n−k)!=n!k!(n−k)!=(nk)\dfrac{(n-1)! \times k + (n-1)! \times (n-k)}{k!(n-k)!} = \dfrac{(n-1)! \times n}{k!(n-k)!} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dbinom nk.

Exercice 5 (3 points) — Mots de passe

Un mot de passe est formé de 6 caractères choisis parmi les 26 lettres minuscules et les 10 chiffres.

  1. Combien de mots de passe possibles ? (1 point)
  2. Combien si les 6 caractères doivent être tous différents ? (1 point)
  3. Combien contiennent au moins un chiffre ? (1 point)
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  1. 366=2 176 782 33636^6 = 2\,176\,782\,336 (6-uplets d'un ensemble à 36 éléments).
  2. 36×35×34×33×32×31=1 402 410 24036 \times 35 \times 34 \times 33 \times 32 \times 31 = 1\,402\,410\,240.
  3. Sans aucun chiffre : 266=308 915 77626^6 = 308\,915\,776. Au moins un chiffre : 2 176 782 336−308 915 776=1 867 866 5602\,176\,782\,336 - 308\,915\,776 = 1\,867\,866\,560.