Terminale

Combinatoire et dénombrement — Exercices d'application

1. Principes additif et multiplicatif

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Exercice 1 — ⭐

Un digicode est formé d’une lettre (parmi A, B, C, D) suivie de deux chiffres (de 0 à 9). Combien de codes différents ?
Une association compte 18 adultes et 7 adolescents. De combien de façons peut-on choisir un trésorier ? Un trésorier adulte et un représentant adolescent ?
Un club de 40 membres compte 22 joueurs de tennis, 15 nageurs et 6 membres qui pratiquent les deux. Combien de membres ne pratiquent aucun des deux sports ?

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$4 \times 10 \times 10 = 400$ codes.
Un trésorier : $18 + 7 = 25$ choix. Un adulte et un adolescent : $18 \times 7 = 126$ choix.
$\mathrm{Card}(T \cup N) = 22 + 15 - 6 = 31$ , donc $40 - 31 = 9$ membres ne pratiquent aucun des deux.

2. k-uplets et parties d’un ensemble

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Exercice 2 — ⭐⭐

Combien de « mots » (pas forcément prononçables) de 4 lettres peut-on écrire avec l’alphabet de 26 lettres ?
Un questionnaire comporte 10 questions à réponse « vrai » ou « faux ». Combien de grilles de réponses différentes ?
Une pizzeria propose 7 garnitures ; un client choisit librement ses garnitures (éventuellement aucune). Combien de pizzas différentes ?

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$26^4 = 456\,976$ mots.
$2^{10} = 1\,024$ grilles (10-uplets de $\{V\,;\,F\}$ ).
Une pizza correspond à une partie de l’ensemble des 7 garnitures : $2^7 = 128$ pizzas.

3. k-uplets d’éléments distincts et permutations

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Exercice 3 — ⭐⭐

Calcule $6!$ et simplifie $\dfrac{9!}{7!}$ .
Huit amis s’assoient sur un banc de huit places. Combien de dispositions ?
Un bureau (président, secrétaire, trésorier) est élu parmi 12 personnes, sans cumul. Combien de bureaux ?
Combien d’anagrammes du mot NOMBRE ? Parmi elles, combien commencent par une voyelle ?

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$6! = 720$ ; $\dfrac{9!}{7!} = 9 \times 8 = 72$ .
$8! = 40\,320$ .
$12 \times 11 \times 10 = 1\,320$ (l’ordre compte : les postes sont différents).
6 lettres distinctes : $6! = 720$ . Commençant par une voyelle (O ou E) : $2$ choix pour la première lettre, puis $5!$ pour les autres : $2 \times 120 = 240$ .

4. Combinaisons

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Exercice 4 — ⭐⭐

Calcule $\dbinom{6}{2}$ , $\dbinom{10}{3}$ et $\dbinom{20}{18}$ sans calculatrice.
Au loto, on coche 5 numéros parmi 49. Combien de grilles ?
Combien de poignées de main sont échangées si 15 personnes se saluent toutes une fois ?

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$\dbinom62 = \dfrac{6 \times 5}{2} = 15$ ; $\dbinom{10}3 = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{6} = 120$ ; $\dbinom{20}{18} = \dbinom{20}{2} = 190$ .
$\dbinom{49}{5} = 1\,906\,884$ grilles.
Une poignée de main correspond à une paire de personnes : $\dbinom{15}{2} = 105$ .

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Une classe compte 12 filles et 15 garçons.

Combien de comités de 5 élèves peut-on former ?
Combien de comités formés de 2 filles et 3 garçons ?
Combien de comités contenant au moins une fille ?

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$\dbinom{27}{5} = 80\,730$ .
$\dbinom{12}{2} \times \dbinom{15}{3} = 66 \times 455 = 30\,030$ (principe multiplicatif).
Complémentaire : comités sans fille, $\dbinom{15}{5} = 3\,003$ . Réponse : $80\,730 - 3\,003 = 77\,727$ .

5. Relation et triangle de Pascal

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Exercice 6 — ⭐⭐

À l’aide du triangle de Pascal, donne les coefficients de la ligne $n = 8$ .
Vérifie sur cette ligne que la somme vaut $2^8$ .
Démontre que, pour $1 \leqslant k \leqslant n$ , $k\dbinom nk = n\dbinom{n-1}{k-1}$ (par le calcul).

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En additionnant les termes voisins de la ligne $7$ ( $1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1$ ) : $1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1$ .
$1 + 8 + 28 + 56 + 70 + 56 + 28 + 8 + 1 = 256 = 2^8$ .
$k\dbinom nk = k \times \dfrac{n!}{k!(n-k)!} = \dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n \times \dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\big((n-1)-(k-1)\big)!} = n\dbinom{n-1}{k-1}$ .

Exercice 7 — ⭐⭐

Écris une fonction Python parties_2(liste) qui renvoie la liste de toutes les paires [a, b] d’éléments de liste (avec a placé avant b dans la liste), en utilisant une liste en compréhension.
Vérifie que len(parties_2([1, 2, 3, 4, 5, 6])) vaut bien $\dbinom62$ .

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def parties_2(liste):
    n = len(liste)
    return [[liste[i], liste[j]] for i in range(n) for j in range(i + 1, n)]

print(parties_2(["a", "b", "c"]))            # [['a', 'b'], ['a', 'c'], ['b', 'c']]
print(len(parties_2([1, 2, 3, 4, 5, 6])))    # 15

On obtient $15 = \dbinom62$ : chaque paire est comptée une seule fois grâce à la condition $j > i$ .

6. Choisir le bon modèle

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Exercice 8 — ⭐⭐

Une urne contient 8 boules numérotées de 1 à 8. Dans chaque cas, précise le modèle et dénombre.

On tire successivement 3 boules avec remise et on note les numéros dans l’ordre.
On tire successivement 3 boules sans remise et on note les numéros dans l’ordre.
On tire simultanément 3 boules.
On tire simultanément 3 boules : combien de tirages contiennent la boule numéro 1 ?

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Triplets : $8^3 = 512$ .
Triplets d’éléments distincts : $8 \times 7 \times 6 = 336$ .
Combinaisons : $\dbinom83 = 56$ (et on retrouve $336 = 56 \times 3!$ ).
On prend la boule 1 et on choisit 2 boules parmi les 7 autres : $\dbinom72 = 21$ .

Exercice 9 — ⭐⭐⭐

Un robot se déplace sur un quadrillage, de $A(0\,;\,0)$ à $B(5\,;\,3)$ , uniquement par pas d’une unité vers la droite ou vers le haut.

Combien de chemins différents mènent de $A$ à $B$ ?
Combien de ces chemins passent par le point $C(2\,;\,1)$ ?
Quelle est la probabilité qu’un chemin choisi au hasard passe par $C$ ?

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8 pas dont 3 vers le haut : $\dbinom83 = 56$ chemins.
De $A$ à $C$ : 3 pas dont 1 vers le haut, $\dbinom31 = 3$ . De $C$ à $B$ : 5 pas dont 2 vers le haut, $\dbinom52 = 10$ . Principe multiplicatif : $3 \times 10 = 30$ chemins.
$\dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28} \approx 0{,}54$ .