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Terminale⏱ 1 heure

Fonctions sinus et cosinus — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

  1. cos⁡π3\cos\dfrac\pi3 ?
  2. sin⁡(−π6)\sin\left(-\dfrac\pi6\right) ?
  3. cos⁡(x+2π)\cos(x + 2\pi) en fonction de cos⁡x\cos x ?
  4. La fonction cosinus est-elle paire ou impaire ?
  5. Dérive x↦sin⁡xx \mapsto \sin x.
  6. Dérive x↦cos⁡(4x)x \mapsto \cos(4x).
  7. lim⁡x→0sin⁡xx\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} ?
  8. Combien vaut cos⁡2x+sin⁡2x\cos^2 x + \sin^2 x ?
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  1. 12\dfrac12.
  2. −12-\dfrac12.
  3. cos⁡(x+2π)=cos⁡x\cos(x + 2\pi) = \cos x.
  4. Paire.
  5. cos⁡x\cos x.
  6. −4sin⁡(4x)-4\sin(4x).
  7. 11.
  8. 11.

Exercice 2 (4 points) — Parité et périodicité

Soit f(x)=sin⁡xcos⁡xf(x) = \sin x\cos x sur R\mathbb{R}.

  1. Montre que ff est impaire. (1 point)
  2. Montre que ff est périodique de période π\pi. (1 point)
  3. Justifie que f(x)=12sin⁡(2x)f(x) = \dfrac12\sin(2x) et en déduire les valeurs maximale et minimale de ff. (2 points)
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  1. f(−x)=sin⁡(−x)cos⁡(−x)=(−sin⁡x)cos⁡x=−f(x)f(-x) = \sin(-x)\cos(-x) = (-\sin x)\cos x = -f(x) : ff est impaire.
  2. sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x + \pi) = -\sin x et cos⁡(x+π)=−cos⁡x\cos(x + \pi) = -\cos x, donc f(x+π)=(−sin⁡x)(−cos⁡x)=f(x)f(x + \pi) = (-\sin x)(-\cos x) = f(x).
  3. sin⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x\sin(2x) = 2\sin x\cos x, donc f(x)=12sin⁡(2x)f(x) = \dfrac12\sin(2x). Comme −1⩽sin⁡(2x)⩽1-1 \leqslant \sin(2x) \leqslant 1, −12⩽f(x)⩽12-\dfrac12 \leqslant f(x) \leqslant \dfrac12 ; le maximum 12\dfrac12 est atteint pour 2x=π22x = \dfrac\pi2 (soit x=π4x = \dfrac\pi4), le minimum −12-\dfrac12 pour x=−π4x = -\dfrac\pi4.

Exercice 3 (5 points) — Équations et inéquations

Résous dans [−π ; π][-\pi\,;\,\pi] :

  1. 2sin⁡x=32\sin x = \sqrt3 (1,5 point)
  2. cos⁡x=−1\cos x = -1 (1 point)
  3. cos⁡x⩽0\cos x \leqslant 0 (1,5 point)
  4. 2cos⁡x−2>02\cos x - \sqrt2 > 0 (1 point)
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  1. sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt3}2 : x=π3x = \dfrac\pi3 ou x=2π3x = \dfrac{2\pi}3.
  2. x=πx = \pi ou x=−πx = -\pi.
  3. S=[−π ; −π2]∪[π2 ; π]\mathcal{S} = \left[-\pi\,;\,-\dfrac\pi2\right] \cup \left[\dfrac\pi2\,;\,\pi\right].
  4. cos⁡x>22\cos x > \dfrac{\sqrt2}2 : S=]−π4 ; π4[\mathcal{S} = \left]-\dfrac\pi4\,;\,\dfrac\pi4\right[.

Exercice 4 (7 points) — Étude de fonction

Soit f(x)=x+2cos⁡xf(x) = x + 2\cos x sur [0 ; π][0\,;\,\pi].

  1. Calcule f′(x)f'(x). (1 point)
  2. Résous f′(x)=0f'(x) = 0 sur [0 ; π][0\,;\,\pi], puis étudie le signe de f′(x)f'(x). (2,5 points)
  3. Dresse le tableau de variations de ff avec les valeurs exactes. (2 points)
  4. Donne une valeur approchée à 10−210^{-2} près du maximum et du minimum de ff sur [0 ; π][0\,;\,\pi]. (1,5 point)
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  1. f′(x)=1−2sin⁡xf'(x) = 1 - 2\sin x.
  2. f′(x)=0  ⟺  sin⁡x=12  ⟺  x=π6f'(x) = 0 \iff \sin x = \dfrac12 \iff x = \dfrac\pi6 ou x=5π6x = \dfrac{5\pi}6 (sur [0 ; π][0\,;\,\pi]). f′(x)>0  ⟺  sin⁡x<12f'(x) > 0 \iff \sin x < \dfrac12, soit sur [0 ; π6[\left[0\,;\,\dfrac\pi6\right[ et ]5π6 ; π]\left]\dfrac{5\pi}6\,;\,\pi\right] ; f′(x)<0f'(x) < 0 sur ]π6 ; 5π6[\left]\dfrac\pi6\,;\,\dfrac{5\pi}6\right[.
  3. f(0)=2f(0) = 2 ; f(π6)=π6+3f\left(\dfrac\pi6\right) = \dfrac\pi6 + \sqrt3 ; f(5π6)=5π6−3f\left(\dfrac{5\pi}6\right) = \dfrac{5\pi}6 - \sqrt3 ; f(π)=π−2f(\pi) = \pi - 2. ff croît de 22 à π6+3\dfrac\pi6 + \sqrt3, décroît jusqu'à 5π6−3\dfrac{5\pi}6 - \sqrt3, puis croît jusqu'à π−2\pi - 2.
  4. Maximum π6+3≈2,26\dfrac\pi6 + \sqrt3 \approx 2{,}26 (supérieur à f(π)≈1,14f(\pi) \approx 1{,}14) ; minimum 5π6−3≈0,89\dfrac{5\pi}6 - \sqrt3 \approx 0{,}89 (inférieur à f(0)=2f(0) = 2).