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Terminale

Fonctions sinus et cosinus — Exercices d'application

1. Définition des fonctions sinus et cosinus

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Exercice 1 — ⭐

  1. Donne la valeur exacte de : cos⁡(−π3)\cos\left(-\dfrac\pi3\right) ; sin⁡5π6\sin\dfrac{5\pi}6 ; cos⁡3π4\cos\dfrac{3\pi}4 ; sin⁡(−π2)\sin\left(-\dfrac\pi2\right) ; cos⁡(3π)\cos(3\pi).
  2. Sachant que cos⁡x=35\cos x = \dfrac35 et x∈[−π2 ; 0]x \in \left[-\dfrac\pi2\,;\,0\right], calcule sin⁡x\sin x.
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  1. 12\dfrac12 ; 12\dfrac12 ; −22-\dfrac{\sqrt2}2 ; −1-1 ; cos⁡(3π)=cos⁡(π+2π)=−1\cos(3\pi) = \cos(\pi + 2\pi) = -1.
  2. sin⁡2x=1−925=1625\sin^2 x = 1 - \dfrac9{25} = \dfrac{16}{25}. Sur [−π2 ; 0]\left[-\dfrac\pi2\,;\,0\right], sin⁡x⩽0\sin x \leqslant 0, donc sin⁡x=−45\sin x = -\dfrac45.

2. Périodicité et parité

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Exercice 2 — ⭐⭐

Étudie la parité de chaque fonction définie sur R\mathbb{R}, et montre que gg et kk sont périodiques en donnant une période.

  1. f(x)=x2cos⁡xf(x) = x^2\cos x
  2. g(x)=sin⁡(2x)g(x) = \sin(2x)
  3. h(x)=cos⁡x+xh(x) = \cos x + x
  4. k(x)=cos⁡(x2)k(x) = \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)
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  1. f(−x)=(−x)2cos⁡(−x)=x2cos⁡x=f(x)f(-x) = (-x)^2\cos(-x) = x^2\cos x = f(x) : ff est paire.
  2. g(−x)=sin⁡(−2x)=−sin⁡(2x)=−g(x)g(-x) = \sin(-2x) = -\sin(2x) = -g(x) : impaire. g(x+π)=sin⁡(2x+2π)=sin⁡(2x)g(x + \pi) = \sin(2x + 2\pi) = \sin(2x) : période π\pi.
  3. h(−x)=cos⁡x−xh(-x) = \cos x - x. h(1)=cos⁡1+1h(1) = \cos 1 + 1 et h(−1)=cos⁡1−1h(-1) = \cos 1 - 1 : h(−1)≠h(1)h(-1) \neq h(1) et h(−1)≠−h(1)h(-1) \neq -h(1) (car cos⁡1≠0\cos 1 \neq 0). hh n’est ni paire ni impaire.
  4. k(−x)=k(x)k(-x) = k(x) : paire. k(x+4π)=cos⁡(x2+2π)=k(x)k(x + 4\pi) = \cos\left(\dfrac x2 + 2\pi\right) = k(x) : période 4π4\pi.

3. Courbes représentatives

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Exercice 3 — ⭐

En t’aidant des courbes du cours :

  1. Combien l’équation cos⁡x=0,3\cos x = 0{,}3 a-t-elle de solutions sur [−2π ; 2π][-2\pi\,;\,2\pi] ?
  2. Sur [−π ; π][-\pi\,;\,\pi], les courbes de sinus et de cosinus se coupent en deux points. Détermine leurs abscisses exactes.
  3. L’équation sin⁡x=2\sin x = 2 a-t-elle des solutions ?
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  1. La droite y=0,3y = 0{,}3 coupe la courbe de cosinus deux fois par période : 44 solutions sur [−2π ; 2π][-2\pi\,;\,2\pi].
  2. sin⁡x=cos⁡x\sin x = \cos x : sur le cercle, ce sont les points de la première bissectrice, associés à π4\dfrac\pi4 et à −3π4-\dfrac{3\pi}4 (cos⁡=sin⁡=−22\cos = \sin = -\dfrac{\sqrt2}2).
  3. Non : sin⁡x⩽1\sin x \leqslant 1 pour tout xx.

4. Dérivées et variations

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Exercice 4 — ⭐⭐

Dérive chaque fonction définie sur R\mathbb{R}.

  1. f(x)=sin⁡(3x)f(x) = \sin(3x)
  2. g(x)=cos⁡2xg(x) = \cos^2 x
  3. h(x)=xcos⁡xh(x) = x\cos x
  4. k(x)=cos⁡(2x−π4)k(x) = \cos\left(2x - \dfrac\pi4\right)
  5. m(x)=esin⁡xm(x) = e^{\sin x}
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  1. f′(x)=3cos⁡(3x)f'(x) = 3\cos(3x).
  2. g′(x)=2cos⁡x×(−sin⁡x)=−2sin⁡xcos⁡xg'(x) = 2\cos x \times (-\sin x) = -2\sin x\cos x (c’est aussi −sin⁡(2x)-\sin(2x)).
  3. h′(x)=cos⁡x−xsin⁡xh'(x) = \cos x - x\sin x.
  4. k′(x)=−2sin⁡(2x−π4)k'(x) = -2\sin\left(2x - \dfrac\pi4\right).
  5. m′(x)=cos⁡x esin⁡xm'(x) = \cos x\,e^{\sin x}.

5. Équations et inéquations trigonométriques

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Exercice 5 — ⭐⭐

Résous dans [−π ; π][-\pi\,;\,\pi].

  1. cos⁡x=22\cos x = \dfrac{\sqrt2}2
  2. sin⁡x=−12\sin x = -\dfrac12
  3. 2cos⁡x+1=02\cos x + 1 = 0
  4. sin⁡x=32\sin x = \dfrac{\sqrt3}{2}
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  1. x=π4x = \dfrac\pi4 ou x=−π4x = -\dfrac\pi4.
  2. x=−π6x = -\dfrac\pi6 ou x=−5π6x = -\dfrac{5\pi}6.
  3. cos⁡x=−12=cos⁡2π3\cos x = -\dfrac12 = \cos\dfrac{2\pi}3 : x=2π3x = \dfrac{2\pi}3 ou x=−2π3x = -\dfrac{2\pi}3.
  4. x=π3x = \dfrac\pi3 ou x=π−π3=2π3x = \pi - \dfrac\pi3 = \dfrac{2\pi}3.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Résous dans [−π ; π][-\pi\,;\,\pi] en t’aidant du cercle trigonométrique.

  1. cos⁡x⩽0\cos x \leqslant 0
  2. sin⁡x⩾22\sin x \geqslant \dfrac{\sqrt2}2
  3. cos⁡x<−32\cos x < -\dfrac{\sqrt3}2
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  1. Abscisse négative ou nulle : demi-cercle gauche. S=[−π ; −π2]∪[π2 ; π]\mathcal{S} = \left[-\pi\,;\,-\dfrac\pi2\right] \cup \left[\dfrac\pi2\,;\,\pi\right].
  2. Ordonnée au moins 22\dfrac{\sqrt2}2 : arc de π4\dfrac\pi4 à 3π4\dfrac{3\pi}4. S=[π4 ; 3π4]\mathcal{S} = \left[\dfrac\pi4\,;\,\dfrac{3\pi}4\right].
  3. cos⁡5π6=−32\cos\dfrac{5\pi}6 = -\dfrac{\sqrt3}2. Abscisse strictement inférieure : arc autour de π\pi, sans les extrémités. S=[−π ; −5π6[∪]5π6 ; π]\mathcal{S} = \left[-\pi\,;\,-\dfrac{5\pi}6\right[ \cup \left]\dfrac{5\pi}6\,;\,\pi\right].

6. Étudier une fonction trigonométrique

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

  1. Soit f(x)=sin⁡x−xf(x) = \sin x - x sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. Montre que, pour tout x⩾0x \geqslant 0, sin⁡x⩽x\sin x \leqslant x.
  2. Soit g(x)=cos⁡x−1+x22g(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2} sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[. Calcule g′g', utilise la question 1 pour trouver son signe, et en déduire que cos⁡x⩾1−x22\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^2}2 pour tout x⩾0x \geqslant 0.
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  1. f′(x)=cos⁡x−1⩽0f'(x) = \cos x - 1 \leqslant 0 : ff décroissante, f(x)⩽f(0)=0f(x) \leqslant f(0) = 0, donc sin⁡x⩽x\sin x \leqslant x.
  2. g′(x)=−sin⁡x+x⩾0g'(x) = -\sin x + x \geqslant 0 d’après la question 1. gg est croissante sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ et g(0)=0g(0) = 0, donc g(x)⩾0g(x) \geqslant 0 : cos⁡x⩾1−x22\cos x \geqslant 1 - \dfrac{x^2}{2}.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Soit f(x)=cos⁡(2x)−2cos⁡xf(x) = \cos(2x) - 2\cos x sur [0 ; π][0\,;\,\pi].

  1. Montre que f′(x)=2sin⁡x (1−2cos⁡x)f'(x) = 2\sin x\,(1 - 2\cos x). (On rappelle que sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x.)
  2. Étudie le signe de f′(x)f'(x) sur [0 ; π][0\,;\,\pi] et dresse le tableau de variations de ff avec les valeurs exactes.
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  1. f′(x)=−2sin⁡(2x)+2sin⁡x=−4sin⁡xcos⁡x+2sin⁡x=2sin⁡x(1−2cos⁡x)f'(x) = -2\sin(2x) + 2\sin x = -4\sin x\cos x + 2\sin x = 2\sin x(1 - 2\cos x).
  2. Sur [0 ; π][0\,;\,\pi], sin⁡x⩾0\sin x \geqslant 0. 1−2cos⁡x⩾0  ⟺  cos⁡x⩽12  ⟺  x⩾π31 - 2\cos x \geqslant 0 \iff \cos x \leqslant \dfrac12 \iff x \geqslant \dfrac\pi3. Donc f′⩽0f' \leqslant 0 sur [0 ; π3]\left[0\,;\,\dfrac\pi3\right] et f′⩾0f' \geqslant 0 sur [π3 ; π]\left[\dfrac\pi3\,;\,\pi\right]. f(0)=1−2=−1f(0) = 1 - 2 = -1 ; f(π3)=cos⁡2π3−2×12=−32f\left(\dfrac\pi3\right) = \cos\dfrac{2\pi}3 - 2 \times \dfrac12 = -\dfrac32 ; f(π)=1+2=3f(\pi) = 1 + 2 = 3. ff décroît de −1-1 à −32-\dfrac32 puis croît jusqu’à 33.

Exercice 9 — ⭐⭐

Dans un port, la hauteur d’eau (en mètres) tt heures après minuit est modélisée par h(t)=4+3cos⁡(πt6)h(t) = 4 + 3\cos\left(\dfrac{\pi t}{6}\right).

  1. Montre que hh est périodique de période 1212. Donne la hauteur maximale et la hauteur minimale, et les instants où elles sont atteintes sur [0 ; 12][0\,;\,12].
  2. Un bateau a besoin d’au moins 5,55{,}5 m d’eau. Sur [0 ; 12][0\,;\,12], pendant quelles plages horaires peut-il manœuvrer ?
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  1. h(t+12)=4+3cos⁡(πt6+2π)=h(t)h(t + 12) = 4 + 3\cos\left(\dfrac{\pi t}6 + 2\pi\right) = h(t). Maximum 4+3=74 + 3 = 7 m quand cos⁡=1\cos = 1 : t=0t = 0 (et t=12t = 12). Minimum 4−3=14 - 3 = 1 m quand cos⁡=−1\cos = -1 : πt6=π\dfrac{\pi t}6 = \pi, t=6t = 6.
  2. h(t)⩾5,5  ⟺  cos⁡(πt6)⩾12h(t) \geqslant 5{,}5 \iff \cos\left(\dfrac{\pi t}6\right) \geqslant \dfrac12. Avec X=πt6∈[0 ; 2π]X = \dfrac{\pi t}6 \in [0\,;\,2\pi] : X∈[0 ; π3]X \in \left[0\,;\,\dfrac\pi3\right] ou X∈[5π3 ; 2π]X \in \left[\dfrac{5\pi}3\,;\,2\pi\right], soit t∈[0 ; 2]t \in [0\,;\,2] ou t∈[10 ; 12]t \in [10\,;\,12] : de minuit à 2 h et de 10 h à midi.