Terminale⏱ 4 séances

Fonctions sinus et cosinus

Ce que tu vas apprendre

Définir les fonctions sinus et cosinus sur ℝ à partir du cercle trigonométrique
Connaître et interpréter graphiquement la parité et la périodicité
Connaître les courbes représentatives de sin et cos
Connaître les dérivées de sin et cos et dériver sin(ax + b), cos(ax + b)
Résoudre cos x = a, sin x = a et des inéquations du type cos x ≤ a sur [−π ; π]
Étudier une fonction simple construite avec sin et cos

Notions clésfonction sinus, fonction cosinuspériodicité 2πcos paire, sin impairesinusoïdesin' = cos, cos' = −sinéquations et inéquations trigonométriques

Ce que tu sais déjà. Tu connais le cercle trigonométrique, le radian, le cosinus et le sinus d’un réel, les valeurs remarquables, les angles associés et la relation $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ (Première — Trigonométrie). En Terminale, on étudie $x \mapsto \cos x$ et $x \mapsto \sin x$ comme des fonctions : courbes, dérivées, variations.

1. Définition des fonctions sinus et cosinus

Définition. Pour tout réel $x$ , on note $M$ le point du cercle trigonométrique associé à $x$ (par enroulement de la droite des réels). Ses coordonnées sont $(\cos x\,;\,\sin x)$ .

La fonction cosinus est la fonction $x \mapsto \cos x$ , définie sur $\mathbb{R}$ .
La fonction sinus est la fonction $x \mapsto \sin x$ , définie sur $\mathbb{R}$ .

Propriétés immédiates. Pour tout réel $x$ : $-1 \leqslant \cos x \leqslant 1$ , $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$ et $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ .

Rappel des valeurs remarquables.

$x$	$0$	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi4$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$	$\pi$
$\cos x$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac12$	$0$	$-1$
$\sin x$	$0$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt2}2$	$\dfrac{\sqrt3}2$	$1$	$0$

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Périodicité et parité

Périodicité. Les réels $x$ et $x + 2\pi$ correspondent au même point du cercle (un tour complet). Donc, pour tout réel $x$ : $\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x.$ On dit que les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période $2\pi$ . Graphiquement, la courbe est invariante par la translation de vecteur $2\pi\,\vec\imath$ : il suffit de la tracer sur un intervalle de longueur $2\pi$ , par exemple $[-\pi\,;\,\pi]$ , puis de la « recopier ».

Parité. Les points associés à $x$ et $-x$ sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses. Donc, pour tout $x$ : $\cos(-x) = \cos x \qquad\text{et}\qquad \sin(-x) = -\sin x.$

La fonction cosinus est paire : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La fonction sinus est impaire : sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

On peut donc restreindre l’étude à $[0\,;\,\pi]$ , puis compléter par symétrie et par périodicité.

Exemple. $f(x) = x\sin x$ : $f(-x) = (-x)\sin(-x) = (-x)(-\sin x) = x\sin x = f(x)$ : $f$ est paire. $g(x) = \cos(2x)$ : $g(x + \pi) = \cos(2x + 2\pi) = \cos(2x) = g(x)$ : $g$ est périodique de période $\pi$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Courbes représentatives

Les courbes de sinus et de cosinus (sinusoïdes) sur [−2π ; 2π]. La courbe de cosinus se déduit de celle de sinus par un décalage de π/2 vers la gauche : cos x = sin(x + π/2).

Lecture. Sur $[0\,;\,\pi]$ , $\cos$ décroît de $1$ à $-1$ ; $\sin$ croît de $0$ à $1$ sur $\left[0\,;\,\dfrac\pi2\right]$ puis décroît de $1$ à $0$ sur $\left[\dfrac\pi2\,;\,\pi\right]$ . Les deux courbes oscillent entre $-1$ et $1$ .

Lire des solutions sur les courbes. Le nombre de solutions de $\cos x = a$ sur un intervalle est le nombre de points d’intersection de la courbe de cosinus avec la droite horizontale $y = a$ .

Lien avec le cercle. $\sin x$ est l’ordonnée du point $M$ ; $\cos x$ est son abscisse. Quand $M$ tourne à vitesse constante, son ordonnée décrit la sinusoïde.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Dérivées et variations

Propriété (admise). Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et

$\sin' = \cos \qquad\text{et}\qquad \cos' = -\sin.$

Conséquences.

Par composée avec $x \mapsto ax + b$ : $\big(\sin(ax + b)\big)' = a\cos(ax + b)$ et $\big(\cos(ax + b)\big)' = -a\sin(ax + b)$ .
Plus généralement, $(\sin u)' = u'\cos u$ et $(\cos u)' = -u'\sin u$ .
Nombre dérivé en $0$ : $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \sin'(0) = \cos 0 = 1$ .

Tableau de variations sur $[0\,;\,\pi]$ . $\cos' = -\sin \leqslant 0$ sur $[0\,;\,\pi]$ : $\cos$ décroît de $1$ à $-1$ . $\sin' = \cos$ est positif sur $\left[0\,;\,\dfrac\pi2\right]$ et négatif sur $\left[\dfrac\pi2\,;\,\pi\right]$ : $\sin$ croît de $0$ à $1$ puis décroît de $1$ à $0$ .

Exemples. $(\sin 3x)' = 3\cos 3x$ ; $\left(\cos\left(2x - \dfrac\pi4\right)\right)' = -2\sin\left(2x - \dfrac\pi4\right)$ ; $(x\cos x)' = \cos x - x\sin x$ ; $(\cos^2 x)' = 2\cos x \times (-\sin x) = -2\sin x\cos x$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Équations et inéquations trigonométriques

Propriété. Pour $a \in [-1\,;\,1]$ , on lit les solutions sur le cercle trigonométrique.

$\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).
$\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$ ( $k \in \mathbb{Z}$ ).

Sur $[-\pi\,;\,\pi]$ , il y a en général deux solutions ; si $|a| > 1$ , aucune.

📋 Méthode — Résoudre cos x ⩾ a sur [−π ; π]

Trouver un réel $\alpha \in [0\,;\,\pi]$ tel que $\cos\alpha = a$ (valeur remarquable).
Placer sur le cercle les deux points d’abscisse $a$ : ceux associés à $\alpha$ et $-\alpha$ .
Repérer l’arc où l’abscisse est $\geqslant a$ (à droite de la droite verticale $x = a$ ).
Lire l’intervalle correspondant dans $[-\pi\,;\,\pi]$ .

Exemple : $\cos x \geqslant \dfrac12$ . $\cos\dfrac\pi3 = \dfrac12$ . L’arc à droite de la droite d’abscisse $\dfrac12$ va de $-\dfrac\pi3$ à $\dfrac\pi3$ : $\mathcal{S} = \left[-\dfrac\pi3\,;\,\dfrac\pi3\right]$ .

Résolution de cos x ⩾ 1/2 sur [−π ; π] : les points du cercle d'abscisse au moins 1/2 forment l'arc allant de −π/3 à π/3.

Exemples (sur $[-\pi\,;\,\pi]$ ).

$\sin x = -\dfrac12$ : $\sin\left(-\dfrac\pi6\right) = -\dfrac12$ , d’où $x = -\dfrac\pi6$ ou $x = \pi - \left(-\dfrac\pi6\right) - 2\pi = -\dfrac{5\pi}6$ .

$\sin x > 0$ : les points d’ordonnée positive sont sur le demi-cercle supérieur : $\mathcal{S} = \,]0\,;\,\pi[$ .

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

6. Étudier une fonction trigonométrique

📋 Méthode — Étude d'une fonction construite avec sin et cos

Chercher une période et une parité pour réduire l’intervalle d’étude.
Dériver, puis factoriser la dérivée (souvent grâce à $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ ou en mettant $\sin x$ en facteur).
Étudier le signe de chaque facteur sur l’intervalle réduit, à l’aide du cercle.
Dresser le tableau de variations, puis compléter la courbe par symétrie et périodicité.

Exemple (une inégalité). Soit $f(x) = \sin x - x$ sur $[0\,;\,+\infty[$ . $f'(x) = \cos x - 1 \leqslant 0$ : $f$ est décroissante, donc $f(x) \leqslant f(0) = 0$ . Pour tout $x \geqslant 0$ , $\sin x \leqslant x$ .

Modélisation. Les phénomènes périodiques (marées, courant alternatif, son, saisons) sont modélisés par des fonctions $t \mapsto A\cos(\omega t + \varphi) + B$ , de période $\dfrac{2\pi}{\omega}$ , qui oscillent entre $B - A$ et $B + A$ ( $A > 0$ ).

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

$\cos$ et $\sin$ sont définies sur $\mathbb{R}$ , à valeurs dans $[-1\,;\,1]$ , périodiques de période $2\pi$ .
$\cos(-x) = \cos x$ (paire) ; $\sin(-x) = -\sin x$ (impaire).
$\sin' = \cos$ , $\cos' = -\sin$ ; $(\sin u)' = u'\cos u$ , $(\cos u)' = -u'\sin u$ ; $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$ .
Équations, inéquations : toujours lire sur le cercle (abscisse pour $\cos$ , ordonnée pour $\sin$ ).