Terminale

Limites de suites — Exercices d'application

1. Suite qui tend vers l’infini

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Exercice 1 — ⭐

Soit $u_n = \sqrt n + 1$ . À partir de quel rang a-t-on $u_n > 100$ ?
Soit $A > 1$ un réel quelconque. À partir de quel rang a-t-on $u_n > A$ ? Conclus sur la limite de $(u_n)$ .
Soit $v_n = -3n + 7$ . À partir de quel rang a-t-on $v_n < -1\,000$ ?

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$\sqrt n + 1 > 100 \iff \sqrt n > 99 \iff n > 9\,801$ : à partir du rang $9\,802$ .
$\sqrt n + 1 > A \iff n > (A - 1)^2$ : à partir du premier entier strictement supérieur à $(A-1)^2$ , tous les termes sont dans $]A\,;\,+\infty[$ . C’est vrai pour tout $A$ : $\lim u_n = +\infty$ .
$-3n + 7 < -1\,000 \iff 3n > 1\,007 \iff n > 335{,}67\dots$ : à partir du rang $336$ .

2. Suite convergente

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Exercice 2 — ⭐

Soit $u_n = 3 + \dfrac2n$ pour $n \geqslant 1$ .

À partir de quel rang tous les termes sont-ils dans l’intervalle $]2{,}9\,;\,3{,}1[$ ?
Même question avec l’intervalle $]3 - 10^{-p}\,;\,3 + 10^{-p}[$ , où $p$ est un entier naturel.
Que peut-on conjecturer, puis affirmer, sur la limite de $(u_n)$ ?

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$u_n > 3 > 2{,}9$ toujours ; $u_n < 3{,}1 \iff \dfrac2n < 0{,}1 \iff n > 20$ : à partir du rang $21$ .
$\dfrac2n < 10^{-p} \iff n > 2 \times 10^p$ : à partir du rang $2 \times 10^p + 1$ .
Tout intervalle ouvert contenant $3$ contient un intervalle du type $]3 - 10^{-p}\,;\,3 + 10^{-p}[$ , qui contient tous les termes à partir d’un rang : $\lim u_n = 3$ . (Plus directement : $\lim \dfrac2n = 0$ .)

3. Opérations sur les limites

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Exercice 3 — ⭐⭐

Détermine la limite de chaque suite (pour $n \geqslant 1$ ).

$a_n = -2n^3 + n^2 + 1$
$b_n = \dfrac{4n - 1}{2n + 3}$
$c_n = \dfrac{n^2 + 1}{3n + 2}$
$d_n = \dfrac{5n + 1}{n^2 + 4}$
$e_n = \sqrt{n + 3} - \sqrt n$
$f_n = \left(1 + \dfrac1n\right)\left(3 - \dfrac2{\sqrt n}\right)$

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FI « $-\infty + \infty$ ». $a_n = n^3\left(-2 + \dfrac1n + \dfrac1{n^3}\right)$ : $n^3 \to +\infty$ , la parenthèse $\to -2$ , donc $\lim a_n = -\infty$ .
$b_n = \dfrac{n\left(4 - \frac1n\right)}{n\left(2 + \frac3n\right)} = \dfrac{4 - \frac1n}{2 + \frac3n} \to \dfrac42 = 2$ .
$c_n = \dfrac{n^2\left(1 + \frac1{n^2}\right)}{n\left(3 + \frac2n\right)} = n \times \dfrac{1 + \frac1{n^2}}{3 + \frac2n}$ : $n \to +\infty$ et la fraction $\to \dfrac13$ , donc $\lim c_n = +\infty$ .
$d_n = \dfrac{n\left(5 + \frac1n\right)}{n^2\left(1 + \frac4{n^2}\right)} = \dfrac1n \times \dfrac{5 + \frac1n}{1 + \frac4{n^2}} \to 0 \times 5 = 0$ .
Quantité conjuguée : $e_n = \dfrac{(n + 3) - n}{\sqrt{n+3} + \sqrt n} = \dfrac{3}{\sqrt{n+3} + \sqrt n}$ ; le dénominateur tend vers $+\infty$ , donc $\lim e_n = 0$ .
$1 + \dfrac1n \to 1$ et $3 - \dfrac2{\sqrt n} \to 3$ : $\lim f_n = 3$ .

4. Limites et comparaison

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Exercice 4 — ⭐⭐

Détermine la limite de chaque suite en justifiant par un théorème de comparaison (pour $n \geqslant 1$ ).

$u_n = n^2 + (-1)^n\,n$
$v_n = \dfrac{3 + (-1)^n}{n^2}$
$w_n = -n + 2(-1)^n$
$z_n = \dfrac{2n + (-1)^n}{n + 1}$

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$(-1)^n n \geqslant -n$ , donc $u_n \geqslant n^2 - n = n(n - 1)$ , qui tend vers $+\infty$ . Par comparaison, $\lim u_n = +\infty$ .
$2 \leqslant 3 + (-1)^n \leqslant 4$ , donc $\dfrac2{n^2} \leqslant v_n \leqslant \dfrac4{n^2}$ . Les deux encadrantes tendent vers $0$ : par les gendarmes, $\lim v_n = 0$ .
$w_n \leqslant -n + 2$ , qui tend vers $-\infty$ : $\lim w_n = -\infty$ .
$\dfrac{2n - 1}{n + 1} \leqslant z_n \leqslant \dfrac{2n + 1}{n + 1}$ . Les deux encadrantes tendent vers $2$ (factoriser par $n$ ) : par les gendarmes, $\lim z_n = 2$ .

5. Limite d’une suite géométrique

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Exercice 5 — ⭐⭐

Détermine, si elle existe, la limite de chaque suite.

$a_n = 4 \times 0{,}9^n$
$b_n = -1{,}02^n$
$c_n = (-1{,}5)^n$
$d_n = \dfrac{3^n - 2^n}{3^n}$
$e_n = 2^n - 3^n$
$S_n = 1 + \dfrac13 + \dfrac1{3^2} + \dots + \dfrac1{3^n}$

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$-1 < 0{,}9 < 1$ : $0{,}9^n \to 0$ , donc $\lim a_n = 0$ .
$1{,}02 > 1$ : $1{,}02^n \to +\infty$ , donc $\lim b_n = -\infty$ .
$-1{,}5 \leqslant -1$ : pas de limite (les termes alternent de signe et leur valeur absolue explose).
$d_n = 1 - \left(\dfrac23\right)^n \to 1 - 0 = 1$ .
FI. $e_n = 3^n\left(\left(\dfrac23\right)^n - 1\right)$ : $3^n \to +\infty$ et la parenthèse $\to -1$ , donc $\lim e_n = -\infty$ .
$S_n = \dfrac{1 - \left(\frac13\right)^{n+1}}{1 - \frac13} = \dfrac32\left(1 - \left(\dfrac13\right)^{n+1}\right) \to \dfrac32$ .

6. Convergence monotone et suites récurrentes

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 10$ et $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 1$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ .
Démontre par récurrence que, pour tout $n$ , $2 \leqslant u_{n+1} \leqslant u_n \leqslant 10$ .
Justifie que $(u_n)$ converge, puis détermine sa limite.

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$u_1 = 6$ , $u_2 = 4$ , $u_3 = 3$ .
$f(x) = 0{,}5x + 1$ est croissante, $f(2) = 2$ , $f(10) = 6$ . Initialisation : $2 \leqslant u_1 = 6 \leqslant u_0 = 10 \leqslant 10$ . Hérédité : si $2 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_k \leqslant 10$ , alors $f(2) \leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(u_k) \leqslant f(10)$ , soit $2 \leqslant u_{k+2} \leqslant u_{k+1} \leqslant 6 \leqslant 10$ . Conclusion : vrai pour tout $n$ .
$(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$ : elle converge vers un réel $\ell$ . Comme $f$ est continue, $\ell = 0{,}5\ell + 1$ , d’où $\ell = 2$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Un patient reçoit chaque matin une dose de $3$ mL d’un médicament ; pendant les $24$ heures qui suivent, son organisme élimine $30\,\%$ de la quantité présente. On note $q_n$ la quantité (en mL) présente juste après la $(n+1)$ -ième injection : $q_0 = 3$ et $q_{n+1} = 0{,}7\,q_n + 3$ .

On pose $w_n = q_n - 10$ . Montre que $(w_n)$ est géométrique ; précise sa raison et son premier terme.
En déduire que $q_n = 10 - 7 \times 0{,}7^n$ , puis la limite de $(q_n)$ . Interprète.
Écris une fonction Python qui renvoie le premier rang $n$ tel que $q_n > 9{,}9$ , et donne ce rang.

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$w_{n+1} = q_{n+1} - 10 = 0{,}7q_n + 3 - 10 = 0{,}7q_n - 7 = 0{,}7(q_n - 10) = 0{,}7\,w_n$ : géométrique de raison $0{,}7$ , de premier terme $w_0 = 3 - 10 = -7$ .
$w_n = -7 \times 0{,}7^n$ donc $q_n = 10 - 7 \times 0{,}7^n$ . Comme $-1 < 0{,}7 < 1$ , $0{,}7^n \to 0$ et $\lim q_n = 10$ : à long terme, la quantité juste après injection se stabilise autour de $10$ mL.
La fonction ci-dessous renvoie 12 ( $q_{11} \approx 9{,}862$ et $q_{12} \approx 9{,}903$ ).

def rang():
    n, q = 0, 3
    while q <= 9.9:
        q = 0.7 * q + 3
        n = n + 1
    return n

print(rang())  # 12

Exercice 8 — ⭐⭐

Vrai ou faux ? Justifie par une démonstration ou un contre-exemple.

Une suite croissante tend vers $+\infty$ .
Une suite non majorée tend vers $+\infty$ .
Si $u_n \leqslant v_n$ pour tout $n$ et $\lim u_n = +\infty$ , alors $\lim v_n = +\infty$ .
Une suite croissante et majorée par $5$ converge vers $5$ .

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Faux : $u_n = 1 - \dfrac1{n+1}$ est croissante et converge vers $1$ .
Faux : $w_n = (-1)^n n$ n’est pas majorée ( $w_{2k} = 2k$ ) mais n’a pas de limite (les termes d’indice impair tendent vers $-\infty$ ).
Vrai : c’est le théorème de comparaison.
Faux : elle converge (convergence monotone), mais pas forcément vers $5$ : $u_n = 1 - \dfrac1{n+1}$ est croissante, majorée par $5$ , et converge vers $1$ .