Terminale⏱ 5 séances

Limites de suites

Ce que tu vas apprendre

Connaître les définitions d'une suite qui tend vers +∞, vers −∞, vers un réel ℓ
Calculer une limite avec les opérations et lever une forme indéterminée
Utiliser les théorèmes de comparaison et des gendarmes
Connaître la limite de q^n selon la valeur de q et la démontrer pour q > 1
Utiliser le théorème de convergence monotone
Programmer la recherche d'un seuil

Notions cléslimite infiniesuite convergente, suite divergenteformes indéterminéesthéorème de comparaisonthéorème des gendarmeslimite de q^nconvergence monotonealgorithme de seuil

Ce que tu sais déjà. En Première, tu as observé intuitivement qu’une suite peut avoir une limite finie, infinie, ou aucune limite (Première — Suites arithmétiques et géométriques), et tu sais démontrer par récurrence qu’une suite est bornée ou monotone (Terminale — Raisonnement par récurrence). On donne maintenant des définitions précises et des théorèmes pour calculer les limites.

1. Suite qui tend vers l’infini

Définition. On dit que la suite $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle $]A\,;\,+\infty[$ ( $A$ réel) contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. On note $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ .

Autrement dit : aussi grand que soit $A$ , il existe un rang $N$ tel que, pour tout $n \geqslant N$ , $u_n > A$ . De même, $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle $]-\infty\,;\,B[$ contient tous les termes à partir d’un certain rang.

Exemple. $u_n = n^2$ . Soit $A > 0$ . Dès que $n > \sqrt A$ , on a $n^2 > A$ : à partir du rang $N$ égal au premier entier supérieur à $\sqrt A$ , tous les termes sont dans $]A\,;\,+\infty[$ . Donc $\lim n^2 = +\infty$ . Pour $A = 10\,000$ : $u_n > 10\,000$ dès que $n \geqslant 101$ .

Suites de référence. $\lim n = \lim n^2 = \lim n^3 = \lim \sqrt n = +\infty$ (et plus généralement $n^p$ , $p$ entier $\geqslant 1$ ).

Propriété (démonstration exigible). Une suite croissante et non majorée tend vers $+\infty$ .

🧠 Démonstration — une suite croissante non majorée tend vers +∞ (exigible au programme)

Soit $(u_n)$ croissante et non majorée, et soit $A$ un réel. Comme $(u_n)$ n’est pas majorée, $A$ n’est pas un majorant : il existe un rang $N$ tel que $u_N > A$ . La suite étant croissante, pour tout $n \geqslant N$ , $u_n \geqslant u_N > A$ . Ainsi l’intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient tous les termes à partir du rang $N$ : c’est la définition de $\lim u_n = +\infty$ .

Attention. « Croissante » ne suffit pas : $u_n = 3 - \dfrac1{n+1}$ est croissante mais reste sous $3$ . Et « non majorée » ne suffit pas non plus : $w_n = (-1)^n n$ n’est pas majorée mais ne tend pas vers $+\infty$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Suite convergente

Définition. On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes à partir d’un certain rang. On note $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ .

Propriétés (admises). Si une suite converge, sa limite est unique. Une suite qui ne converge pas est dite divergente : soit elle tend vers $\pm\infty$ , soit elle n’a pas de limite (comme $(-1)^n$ ).

La suite u(n) = 2 + (−1)ⁿ × 3/(n + 1) converge vers 2 : quelle que soit la largeur de la bande autour de 2, tous les termes finissent par y entrer (ici à partir du rang 6 pour la bande ]1,5 ; 2,5[).

Suites de référence. $\displaystyle\lim \frac1n = \lim \frac1{n^2} = \lim \frac1{n^3} = \lim \frac1{\sqrt n} = 0$ .

Exemple (utiliser la définition). $u_n = 5 + \dfrac1{n^2}$ ( $n \geqslant 1$ ). Tous les termes sont dans $]4{,}99\,;\,5{,}01[$ dès que $\dfrac1{n^2} < 0{,}01$ , c’est-à-dire $n^2 > 100$ , soit $n \geqslant 11$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Opérations sur les limites

$\ell$ et $\ell'$ désignent des réels. Les résultats sont admis ; « FI » signifie forme indéterminée : on ne peut pas conclure directement, il faut transformer l’écriture.

Somme : si $\lim u_n =$	$\ell$	$\ell$	$+\infty$	$-\infty$	$+\infty$
et $\lim v_n =$	$\ell'$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$
alors $\lim (u_n + v_n) =$	$\ell + \ell'$	$\pm\infty$	$+\infty$	$-\infty$	FI

Produit : si $\lim u_n =$	$\ell$	$\ell \neq 0$	$\infty$	$0$
et $\lim v_n =$	$\ell'$	$\infty$	$\infty$	$\infty$
alors $\lim (u_n v_n) =$	$\ell\ell'$	$\infty$ (règle des signes)	$\infty$ (règle des signes)	FI

Quotient : si $\lim u_n =$	$\ell$	$\ell$	$\ell \neq 0$ ou $\infty$	$\infty$	$0$	$\infty$
et $\lim v_n =$	$\ell' \neq 0$	$\infty$	$0$ (avec un signe constant)	$\ell'$	$0$	$\infty$
alors $\lim \dfrac{u_n}{v_n} =$	$\dfrac{\ell}{\ell'}$	$0$	$\infty$ (règle des signes)	$\infty$	FI	FI

Les quatre formes indéterminées : « $+\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\dfrac{\infty}{\infty}$ », « $\dfrac00$ ».

📋 Méthode — Lever une indétermination : factoriser par le terme prépondérant

Pour un polynôme ou une fraction en $n$ , on met en facteur la plus haute puissance de $n$ .

$u_n = n^2 - 5n$ : « $+\infty - \infty$ ». $u_n = n^2\left(1 - \dfrac5n\right)$ ; $\lim n^2 = +\infty$ et $\lim\left(1 - \dfrac5n\right) = 1$ , donc $\lim u_n = +\infty$ .
$v_n = \dfrac{3n^2 + 1}{2n^2 - n}$ : « $\dfrac{\infty}{\infty}$ ». $v_n = \dfrac{n^2\left(3 + \frac1{n^2}\right)}{n^2\left(2 - \frac1n\right)} = \dfrac{3 + \frac1{n^2}}{2 - \frac1n}$ , donc $\lim v_n = \dfrac32$ .
$w_n = \sqrt{n + 1} - \sqrt n$ : on multiplie par la quantité conjuguée : $w_n = \dfrac{(n + 1) - n}{\sqrt{n+1} + \sqrt n} = \dfrac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt n}$ , donc $\lim w_n = 0$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Limites et comparaison

Théorème de comparaison (démonstration exigible). Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites telles que $u_n \leqslant v_n$ à partir d’un certain rang.

Si $\lim u_n = +\infty$ , alors $\lim v_n = +\infty$ .
Si $\lim v_n = -\infty$ , alors $\lim u_n = -\infty$ .

🧠 Démonstration — divergence vers +∞ d'une suite minorée par une suite qui tend vers +∞ (exigible au programme)

Il existe un rang $N_1$ tel que, pour $n \geqslant N_1$ , $u_n \leqslant v_n$ . Soit $A$ un réel. Comme $\lim u_n = +\infty$ , il existe un rang $N_2$ tel que, pour $n \geqslant N_2$ , $u_n > A$ . Posons $N = \max(N_1, N_2)$ : pour tout $n \geqslant N$ , $v_n \geqslant u_n > A$ . L’intervalle $]A\,;\,+\infty[$ contient donc tous les $v_n$ à partir du rang $N$ : $\lim v_n = +\infty$ .

Théorème des gendarmes (admis). Si, à partir d’un certain rang, $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n$ , et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$ , alors $(v_n)$ converge aussi vers $\ell$ .

Exemples.

$v_n = n + (-1)^n$ : pour tout $n$ , $v_n \geqslant n - 1$ et $\lim (n - 1) = +\infty$ , donc $\lim v_n = +\infty$ .

$t_n = \dfrac{(-1)^n}{n}$ ( $n \geqslant 1$ ) : $-\dfrac1n \leqslant t_n \leqslant \dfrac1n$ et les deux suites encadrantes tendent vers $0$ : par les gendarmes, $\lim t_n = 0$ .

Passage à la limite dans une inégalité (admis). Si $u_n \leqslant v_n$ à partir d’un certain rang et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n \leqslant \lim v_n$ (les inégalités strictes deviennent larges).

→ S’entraîner : Exercice 4

5. Limite d’une suite géométrique

Propriété. Soit $q$ un réel.

Valeur de $q$	$q > 1$	$q = 1$	$-1 < q < 1$	$q \leqslant -1$
$\lim q^n$	$+\infty$	$1$	$0$	pas de limite

🧠 Démonstration — si q > 1, alors q^n tend vers +∞ (exigible au programme)

Si $q > 1$ , on pose $a = q - 1 > 0$ . D’après l’inégalité de Bernoulli (démontrée par récurrence), pour tout $n$ , $q^n = (1 + a)^n \geqslant 1 + na$ . Or $a > 0$ , donc $\lim (1 + na) = +\infty$ . Par le théorème de comparaison, $\lim q^n = +\infty$ .

Cas $0 < q < 1$ : $\dfrac1q > 1$ donc $\left(\dfrac1q\right)^n \to +\infty$ et $q^n = \dfrac{1}{(1/q)^n} \to 0$ . Si $-1 < q < 0$ , on encadre $-|q|^n \leqslant q^n \leqslant |q|^n$ et on applique les gendarmes.

Trois comportements de qⁿ : pour q = 1,25 les termes explosent, pour q = 0,75 ils tendent vers 0, pour q = −0,75 ils oscillent autour de 0 en s'en rapprochant.

Exemples. $\lim 3 \times 0{,}8^n = 0$ ; $\lim (-2) \times 1{,}1^n = -\infty$ ; $\lim \dfrac{2^n + 5^n}{4^n} = \lim \left[\left(\dfrac12\right)^n + \left(\dfrac54\right)^n\right] = +\infty$ .

Somme géométrique. Si $-1 < q < 1$ : $1 + q + \dots + q^n = \dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \to \dfrac{1}{1 - q}$ . Par exemple $1 + \dfrac12 + \dfrac14 + \dots + \dfrac1{2^n} \to 2$ .

→ S’entraîner : Exercice 5

6. Convergence monotone et suites récurrentes

Théorème de convergence monotone (admis).

Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.

Attention. Le théorème donne l’existence de la limite, pas sa valeur : si $(u_n)$ est croissante et majorée par $4$ , sa limite $\ell$ vérifie $\ell \leqslant 4$ , mais n’est pas forcément égale à $4$ .

Suites $u_{n+1} = f(u_n)$ . Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ , alors $\ell = f(\ell)$ (justifié au chapitre Continuité) : la limite est à chercher parmi les solutions de l’équation $f(x) = x$ .

Exemple. $u_0 = 1$ , $u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 2$ . Une récurrence donne $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 4$ : la suite est croissante et majorée, donc converge vers un réel $\ell$ tel que $\ell = 0{,}5\ell + 2$ , soit $\ell = 4$ .

📋 Méthode — Suite arithmético-géométrique u(n+1) = a·u(n) + b

Chercher le réel $\ell$ tel que $\ell = a\ell + b$ (point fixe).
Poser $v_n = u_n - \ell$ : alors $v_{n+1} = a u_n + b - (a\ell + b) = a v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique de raison $a$ .
En déduire $u_n = \ell + (u_0 - \ell)a^n$ et, si $-1 < a < 1$ , $\lim u_n = \ell$ .

Algorithme de seuil. Quand $\lim u_n = +\infty$ (ou $\ell$ ), on cherche le premier rang à partir duquel $u_n$ dépasse un seuil (ou s’approche de $\ell$ à moins d’une précision). Pour la suite de l’exemple :

def seuil(p):
    """Premier rang n tel que 4 - u(n) < p."""
    n, u = 0, 1
    while 4 - u >= p:
        u = 0.5 * u + 2
        n = n + 1
    return n

print(seuil(0.01))   # 9

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

$\lim u_n = +\infty$ : tout $]A\,;\,+\infty[$ contient les termes à partir d’un rang ; $\lim u_n = \ell$ : tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient les termes à partir d’un rang.
Formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\frac\infty\infty$ , $\frac00$ → factoriser le terme prépondérant, quantité conjuguée.
Comparaison : minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ ⟹ tend vers $+\infty$ ; gendarmes pour une limite finie.
$q^n$ : $+\infty$ si $q > 1$ , $0$ si $-1 < q < 1$ , pas de limite si $q \leqslant -1$ .
Croissante majorée ⟹ converge ; croissante non majorée ⟹ $+\infty$ .