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Limites de suites — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

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$0$ .
$0$ (car $-1 < 0{,}5 < 1$ ).
$-\infty$ .
Par exemple « $+\infty - \infty$ » (ou « $0 \times \infty$ », « $\frac\infty\infty$ », « $\frac00$ »).
$\dfrac{n(1 + \frac1n)}{2 - \frac1n}$ .
$a - b$ .
$31$ .
Non (elle n'a pas de limite).

Détermine la limite de chaque suite (1 point par question).

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$a_n = n^3\left(1 - \dfrac2n\right)$ : $+\infty \times 1$ , donc $\lim a_n = +\infty$ .
$b_n = \dfrac{3 + \frac1{n^2}}{\frac1{n^2} - 1} \to \dfrac{3}{-1} = -3$ .
$-\dfrac1n \leqslant \dfrac{(-1)^n}{n} \leqslant \dfrac1n$ , donc par les gendarmes $\dfrac{(-1)^n}{n} \to 0$ et $\lim c_n = 2$ .
$0{,}3^n \to 0$ : $\lim d_n = 2$ .
$e_n = \left(\dfrac54\right)^n$ avec $\dfrac54 > 1$ : $\lim e_n = +\infty$ .

Énonce l'inégalité de Bernoulli. (1 point)
En déduire que, si $q > 1$ , alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ , en citant le théorème utilisé. (2 points)

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Pour tout réel $a > 0$ et tout entier naturel $n$ , $(1 + a)^n \geqslant 1 + na$ .
Si $q > 1$ , on pose $a = q - 1 > 0$ : $q^n = (1 + a)^n \geqslant 1 + na$ . Comme $a > 0$ , $\lim (1 + na) = +\infty$ . D'après le théorème de comparaison (une suite minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ tend vers $+\infty$ ), $\lim q^n = +\infty$ .

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = 0{,}6\,u_n + 8$ .

Calcule $u_1$ et $u_2$ . (1 point)
Démontre par récurrence que, pour tout $n$ , $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 20$ . (2 points)
Justifie que $(u_n)$ converge. (1 point)
On pose $v_n = u_n - 20$ . Montre que $(v_n)$ est géométrique et exprime $u_n$ en fonction de $n$ . (2 points)
Détermine la limite de $(u_n)$ . (1 point)
Écris un programme Python qui détermine le premier rang $n$ tel que $u_n > 19{,}99$ ; quel rang renvoie-t-il ? (1 point)

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$u_1 = 0{,}6 \times 5 + 8 = 11$ ; $u_2 = 0{,}6 \times 11 + 8 = 14{,}6$ .
$f(x) = 0{,}6x + 8$ est croissante et $f(20) = 20$ . Initialisation : $u_0 = 5 \leqslant u_1 = 11 \leqslant 20$ . Hérédité : si $u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 20$ , alors $f(u_k) \leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(20)$ , soit $u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 20$ . Conclusion : vrai pour tout $n$ .
$(u_n)$ est croissante et majorée par $20$ : elle converge (théorème de convergence monotone).
$v_{n+1} = 0{,}6u_n + 8 - 20 = 0{,}6(u_n - 20) = 0{,}6\,v_n$ : géométrique de raison $0{,}6$ , $v_0 = -15$ . Donc $v_n = -15 \times 0{,}6^n$ et $u_n = 20 - 15 \times 0{,}6^n$ .
$-1 < 0{,}6 < 1$ donc $0{,}6^n \to 0$ et $\lim u_n = 20$ .
Le programme renvoie 15.

n, u = 0, 5
while u <= 19.99:
    u = 0.6 * u + 8
    n = n + 1
print(n)  # 15