Terminale⏱ 5 séances

Compléments sur la dérivation, convexité

Ce que tu vas apprendre

Décomposer une fonction comme composée de deux fonctions
Dériver une composée : (v∘u)' = (v'∘u) × u', en particulier e^u, √u, u^n, g(ax + b)
Calculer une dérivée seconde
Caractériser une fonction convexe ou concave et étudier la convexité avec f''
Déterminer un point d'inflexion
Démontrer une inégalité à l'aide de la convexité

Notions clésfonction composée v∘u(v∘u)' = (v'∘u) × u'dérivée secondefonction convexe, fonction concaveposition par rapport aux tangentes et aux sécantespoint d'inflexioninégalités de convexité

Ce que tu sais déjà. Tu sais dériver les fonctions usuelles, un produit, un quotient, $t \mapsto e^{at}$ (Première — Fonction dérivée, Première — Fonction exponentielle) et relier le signe de la dérivée aux variations (Première — Dérivation et variations). En Terminale, on dérive des fonctions composées et on étudie la courbure d’une courbe grâce à la dérivée seconde.

1. Composée de deux fonctions

Définition. Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ , à valeurs dans un intervalle $J$ , et $v$ une fonction définie sur $J$ . La composée de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v \circ u$ définie sur $I$ par

$(v \circ u)(x) = v\big(u(x)\big).$

On applique d’abord $u$ , puis $v$ : $x \xrightarrow{\;u\;} u(x) \xrightarrow{\;v\;} v(u(x))$ .

Exemples.

$f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $u(x) = x^2 + 1$ puis $v(X) = \sqrt X$ , donc $f = v \circ u$ .

$g(x) = e^{-3x + 2}$ : $u(x) = -3x + 2$ puis $v(X) = e^X$ .

Avec $u(x) = x^2$ et $v(x) = x + 3$ : $(v \circ u)(x) = x^2 + 3$ mais $(u \circ v)(x) = (x + 3)^2$ . En général, $v \circ u \neq u \circ v$ .

Attention au domaine. $x \mapsto \sqrt{1 - x}$ n’est définie que si $1 - x \geqslant 0$ , soit $x \leqslant 1$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Dériver une fonction composée

Théorème (admis). Si $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ dérivable sur $J$ (avec $u(I) \subset J$ ), alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et

$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u', \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \big(v(u(x))\big)' = v'\big(u(x)\big) \times u'(x).$

Cas particuliers à connaître ( $u$ dérivable, avec les conditions indiquées) :

Fonction	Dérivée	Condition
$g(ax + b)$	$a\,g'(ax + b)$
$e^{u}$	$u'\,e^{u}$
$u^n$ ( $n$ entier $\geqslant 1$ )	$n\,u'\,u^{n-1}$
$\sqrt u$	$\dfrac{u'}{2\sqrt u}$	$u > 0$
$\dfrac1u$	$-\dfrac{u'}{u^2}$	$u \neq 0$

Exemples.

$f(x) = (2x - 5)^3$ : $f'(x) = 3 \times 2 \times (2x - 5)^2 = 6(2x - 5)^2$ .

$g(x) = e^{x^2 - x}$ : $g'(x) = (2x - 1)e^{x^2 - x}$ .

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $h'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ .

Bon réflexe. Pour étudier le signe de $(e^u)' = u'e^u$ , on utilise $e^u > 0$ : le signe est celui de $u'$ . Pour $\sqrt u$ , le dénominateur $2\sqrt u$ est positif : le signe est celui de $u'$ .

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Dérivée seconde

Définition. Si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , la dérivée de $f'$ est appelée dérivée seconde de $f$ et notée $f''$ .

Exemples.

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 1$ : $f'(x) = 3x^2 - 12x$ , $f''(x) = 6x - 12$ .

$g(x) = xe^x$ : $g'(x) = (x + 1)e^x$ , $g''(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x$ .

Interprétation. $f'$ donne la vitesse de variation de $f$ ; $f''$ donne la vitesse de variation de $f'$ . En physique, si $f(t)$ est une position, $f'(t)$ est la vitesse et $f''(t)$ l’accélération.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Fonctions convexes et concaves

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe.

$f$ est convexe sur $I$ si, pour tous points $A$ et $B$ de $\mathcal{C}_f$ d’abscisses dans $I$ , la portion de courbe entre $A$ et $B$ est située en dessous de la sécante $(AB)$ .
$f$ est concave sur $I$ si cette portion de courbe est au-dessus de la sécante $(AB)$ .

À gauche, une fonction convexe : courbe sous ses sécantes et au-dessus de ses tangentes. À droite, une fonction concave : c'est l'inverse.

Théorème (caractérisations). Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur $I$ . Les propositions suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$\mathcal{C}_f$ est au-dessus de toutes ses tangentes sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
$f''$ est positive sur $I$ .

(Et pour une fonction concave : en dessous des tangentes, $f'$ décroissante, $f'' \leqslant 0$ .)

🧠 Démonstration — si f'' est positive, la courbe est au-dessus de ses tangentes (exigible au programme)

Soit $a \in I$ . La tangente en $a$ a pour équation $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ . Posons, pour $x \in I$ , $g(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big].$ $g$ mesure l’écart entre la courbe et la tangente. On a $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ .

Comme $f'' \geqslant 0$ sur $I$ , $f'$ est croissante sur $I$ . Donc :

pour $x \leqslant a$ , $f'(x) \leqslant f'(a)$ , soit $g'(x) \leqslant 0$ ;
pour $x \geqslant a$ , $f'(x) \geqslant f'(a)$ , soit $g'(x) \geqslant 0$ .

$g$ est donc décroissante puis croissante : son minimum est $g(a) = 0$ . Ainsi $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ : la courbe est au-dessus de sa tangente en $a$ , et ceci pour tout $a \in I$ .

Exemples de référence. $x \mapsto x^2$ et $\exp$ sont convexes sur $\mathbb{R}$ ( $f'' = 2 > 0$ , $\exp'' = \exp > 0$ ). $x \mapsto \sqrt x$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\left(\sqrt x\right)'' = -\dfrac{1}{4x\sqrt x} < 0$ . $x \mapsto \dfrac1x$ est concave sur $]-\infty\,;\,0[$ et convexe sur $]0\,;\,+\infty[$ ( $f''(x) = \dfrac2{x^3}$ ).

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Point d’inflexion

Définition. Soit $f$ dérivable sur $I$ et $A$ un point de $\mathcal{C}_f$ . $A$ est un point d’inflexion si la courbe traverse sa tangente en $A$ : la convexité de $f$ change en $A$ .

Propriété. Si $f$ est deux fois dérivable et si $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ , alors le point d’abscisse $a$ est un point d’inflexion.

Exemple. $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ . $f''(x) = 6x - 12$ : négatif sur $]-\infty\,;\,2[$ , positif sur $]2\,;\,+\infty[$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,2]$ et convexe sur $[2\,;\,+\infty[$ ; le point $A(2\,;\,3)$ est un point d’inflexion ( $f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ ).

La courbe de f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 traverse sa tangente au point A(2 ; 3) : concave avant, convexe après. C'est un point d'inflexion.

Attention. $f''(a) = 0$ ne suffit pas : pour $f(x) = x^4$ , $f''(0) = 0$ mais $f'' = 12x^2 \geqslant 0$ ne change pas de signe : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ , pas de point d’inflexion en $0$ .

Lecture graphique. Un point d’inflexion correspond à un extremum de $f'$ : c’est là que $f$ varie le plus (ou le moins) vite.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

6. Inégalités de convexité

La position d’une courbe par rapport à ses tangentes fournit des inégalités valables sur tout un intervalle.

Exemple fondamental. $\exp$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et sa tangente en $0$ a pour équation $y = x + 1$ . Donc, pour tout réel $x$ : $e^x \geqslant 1 + x.$ Avec $x = \dfrac1n$ ( $n \geqslant 1$ ) : $e^{1/n} \geqslant 1 + \dfrac1n$ , d’où, en élevant à la puissance $n$ (tout est positif), $e \geqslant \left(1 + \dfrac1n\right)^n$ .

Exemple (concavité). $\sqrt{\,\cdot\,}$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ ; sa tangente en $1$ est $y = \dfrac12(x - 1) + 1 = \dfrac{x + 1}{2}$ . Donc, pour tout $x > 0$ , $\sqrt x \leqslant \dfrac{x + 1}{2}$ .

→ S’entraîner : Exercice 8

À retenir.

$(v \circ u)(x) = v(u(x))$ ; $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ .
$(e^u)' = u'e^u$ ; $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)' = \dfrac{u'}{2\sqrt u}$ ; $\big(g(ax + b)\big)' = a\,g'(ax + b)$ .
Convexe ⟺ sous les sécantes ⟺ au-dessus des tangentes ⟺ $f'$ croissante ⟺ $f'' \geqslant 0$ .
Point d’inflexion : $f''$ s’annule en changeant de signe ; la courbe traverse sa tangente.
$e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$ .