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Terminale

Compléments sur la dérivation, convexité — Exercices d'application

1. Composée de deux fonctions

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Exercice 1 — ⭐

  1. Soit u(x)=x2−1u(x) = x^2 - 1 et v(x)=xv(x) = \sqrt x. Exprime (v∘u)(x)(v \circ u)(x) et (u∘v)(x)(u \circ v)(x), et précise l’ensemble de définition de chacune.
  2. Écris chaque fonction comme composée v∘uv \circ u de deux fonctions de référence ou affines. a. f(x)=e1/xf(x) = e^{1/x} ; b. g(x)=(3−x)5g(x) = (3 - x)^5 ; c. h(x)=1x2+4h(x) = \dfrac{1}{x^2 + 4}.
Voir le corrigé
  1. (v∘u)(x)=x2−1(v \circ u)(x) = \sqrt{x^2 - 1}, définie si x2−1⩾0x^2 - 1 \geqslant 0, soit sur ]−∞ ; −1]∪[1 ; +∞[]-\infty\,;\,-1] \cup [1\,;\,+\infty[. (u∘v)(x)=(x)2−1=x−1(u \circ v)(x) = \left(\sqrt x\right)^2 - 1 = x - 1, définie sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[ (il faut que x\sqrt x existe).
  2. a. u(x)=1xu(x) = \dfrac1x, v(X)=eXv(X) = e^X. b. u(x)=3−xu(x) = 3 - x, v(X)=X5v(X) = X^5. c. u(x)=x2+4u(x) = x^2 + 4, v(X)=1Xv(X) = \dfrac1X.

2. Dériver une fonction composée

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Exercice 2 — ⭐⭐

Dérive chaque fonction (sur un intervalle où elle est dérivable).

  1. f1(x)=(3x−1)4f_1(x) = (3x - 1)^4
  2. f2(x)=x2+2x+3f_2(x) = \sqrt{x^2 + 2x + 3}
  3. f3(x)=e−x2f_3(x) = e^{-x^2}
  4. f4(x)=1(2x+5)2f_4(x) = \dfrac{1}{(2x + 5)^2}
  5. f5(x)=x e−2xf_5(x) = x\,e^{-2x}
  6. f6(x)=(x2−1)3f_6(x) = (x^2 - 1)^3
Voir le corrigé
  1. f1′(x)=4×3×(3x−1)3=12(3x−1)3f_1'(x) = 4 \times 3 \times (3x - 1)^3 = 12(3x - 1)^3.
  2. f2′(x)=2x+22x2+2x+3=x+1x2+2x+3f_2'(x) = \dfrac{2x + 2}{2\sqrt{x^2 + 2x + 3}} = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 2x + 3}}.
  3. f3′(x)=−2x e−x2f_3'(x) = -2x\,e^{-x^2}.
  4. f4(x)=(2x+5)−2f_4(x) = (2x + 5)^{-2}, donc f4′(x)=−2×2×(2x+5)−3=−4(2x+5)3f_4'(x) = -2 \times 2 \times (2x + 5)^{-3} = -\dfrac{4}{(2x + 5)^3} (avec x≠−52x \neq -\frac52).
  5. Produit : f5′(x)=e−2x+x×(−2)e−2x=(1−2x)e−2xf_5'(x) = e^{-2x} + x \times (-2)e^{-2x} = (1 - 2x)e^{-2x}.
  6. f6′(x)=3×2x×(x2−1)2=6x(x2−1)2f_6'(x) = 3 \times 2x \times (x^2 - 1)^2 = 6x(x^2 - 1)^2.

Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Soit f(x)=x2−2x+5f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 5}. Justifie que ff est définie sur R\mathbb{R}, puis étudie ses variations et donne son minimum.
  2. Soit g(x)=e−x2g(x) = e^{-x^2}. Étudie les variations de gg et ses limites en ±∞\pm\infty.
Voir le corrigé
  1. Discriminant de x2−2x+5x^2 - 2x + 5 : Δ=4−20=−16<0\Delta = 4 - 20 = -16 < 0, donc le trinôme est toujours strictement positif : ff est définie (et dérivable) sur R\mathbb{R}. f′(x)=2x−22x2−2x+5=x−1x2−2x+5f'(x) = \dfrac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x + 5}} = \dfrac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}}, du signe de x−1x - 1. ff décroît sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1] et croît sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[ ; minimum f(1)=4=2f(1) = \sqrt4 = 2.
  2. g′(x)=−2x e−x2g'(x) = -2x\,e^{-x^2}, du signe de −x-x : gg croît sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0], décroît sur [0 ; +∞[[0\,;\,+\infty[, maximum g(0)=1g(0) = 1. En ±∞\pm\infty, −x2→−∞-x^2 \to -\infty donc g(x)→0g(x) \to 0 (composée).

3. Dérivée seconde

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Exercice 4 — ⭐⭐

Calcule f′f' et f′′f'' pour chaque fonction.

  1. f(x)=x4−2x3f(x) = x^4 - 2x^3
  2. g(x)=e2x−xg(x) = e^{2x} - x
  3. h(x)=(x−1)exh(x) = (x - 1)e^x
Voir le corrigé
  1. f′(x)=4x3−6x2f'(x) = 4x^3 - 6x^2 ; f′′(x)=12x2−12x=12x(x−1)f''(x) = 12x^2 - 12x = 12x(x - 1).
  2. g′(x)=2e2x−1g'(x) = 2e^{2x} - 1 ; g′′(x)=4e2xg''(x) = 4e^{2x}.
  3. h′(x)=ex+(x−1)ex=xexh'(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x ; h′′(x)=ex+xex=(x+1)exh''(x) = e^x + xe^x = (x + 1)e^x.

4. Fonctions convexes et concaves

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Exercice 5 — ⭐⭐

  1. Étudie la convexité de f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 sur R\mathbb{R}.
  2. Montre que g(x)=e−xg(x) = e^{-x} est convexe sur R\mathbb{R}.
  3. Vrai ou faux : « une fonction convexe sur R\mathbb{R} est croissante sur R\mathbb{R} » ?
  4. Vrai ou faux : « si f′f' est croissante sur II, la courbe de ff est au-dessus de ses tangentes sur II » ?
Voir le corrigé
  1. f′′(x)=6x−6f''(x) = 6x - 6 : négatif pour x<1x < 1, positif pour x>1x > 1. ff est concave sur ]−∞ ; 1]]-\infty\,;\,1], convexe sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[.
  2. g′(x)=−e−xg'(x) = -e^{-x}, g′′(x)=e−x>0g''(x) = e^{-x} > 0 : gg est convexe sur R\mathbb{R}.
  3. Faux : x↦x2x \mapsto x^2 est convexe sur R\mathbb{R} mais décroissante sur ]−∞ ; 0]]-\infty\,;\,0].
  4. Vrai : c’est l’une des caractérisations de la convexité.

5. Point d’inflexion

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Soit f(x)=x exf(x) = x\,e^x sur R\mathbb{R}.

  1. Calcule f′(x)f'(x) et f′′(x)f''(x).
  2. Étudie la convexité de ff et montre que sa courbe admet un point d’inflexion II dont on donnera les coordonnées exactes.
  3. Détermine une équation de la tangente en II.
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  1. f′(x)=(x+1)exf'(x) = (x + 1)e^x ; f′′(x)=ex+(x+1)ex=(x+2)exf''(x) = e^x + (x + 1)e^x = (x + 2)e^x.
  2. ex>0e^x > 0 : f′′(x)f''(x) a le signe de x+2x + 2. ff est concave sur ]−∞ ; −2]]-\infty\,;\,-2] et convexe sur [−2 ; +∞[[-2\,;\,+\infty[. f′′f'' s’annule en changeant de signe en −2-2 : I(−2 ; −2e−2)I(-2\,;\,-2e^{-2}) est un point d’inflexion.
  3. f′(−2)=−e−2f'(-2) = -e^{-2}. Tangente : y=−e−2(x+2)−2e−2y = -e^{-2}(x + 2) - 2e^{-2}, soit y=−e−2x−4e−2y = -e^{-2}x - 4e^{-2}.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Les ventes cumulées d’un nouveau jeu vidéo (en milliers d’exemplaires) tt mois après sa sortie sont modélisées par V(t)=−t3+9t2+5V(t) = -t^3 + 9t^2 + 5 pour t∈[0 ; 6]t \in [0\,;\,6].

  1. Calcule V′(t)V'(t) (vitesse des ventes, en milliers par mois) et montre que VV est croissante sur [0 ; 6][0\,;\,6].
  2. Étudie la convexité de VV et détermine le point d’inflexion.
  3. À quel moment les ventes progressent-elles le plus vite ? Quelle est alors cette vitesse ?
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  1. V′(t)=−3t2+18t=3t(6−t)⩾0V'(t) = -3t^2 + 18t = 3t(6 - t) \geqslant 0 sur [0 ; 6][0\,;\,6] : VV est croissante.
  2. V′′(t)=−6t+18V''(t) = -6t + 18 : positif sur [0 ; 3[[0\,;\,3[, négatif sur ]3 ; 6]]3\,;\,6]. VV est convexe sur [0 ; 3][0\,;\,3], concave sur [3 ; 6][3\,;\,6] ; point d’inflexion d’abscisse 33 : V(3)=−27+81+5=59V(3) = -27 + 81 + 5 = 59, soit le point (3 ; 59)(3\,;\,59).
  3. V′V' est croissante puis décroissante (signe de V′′V'') : son maximum est atteint en t=3t = 3, V′(3)=−27+54=27V'(3) = -27 + 54 = 27. Les ventes progressent le plus vite au bout de 33 mois : 27 00027\,000 exemplaires par mois.

6. Inégalités de convexité

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Exercice 8 — ⭐⭐⭐

  1. Rappelle pourquoi, pour tout réel xx, ex⩾1+xe^x \geqslant 1 + x.
  2. En remplaçant xx par −x-x, en déduire que, pour tout x∈[0 ; 1[x \in [0\,;\,1[ : 1+x⩽ex⩽11−x.1 + x \leqslant e^x \leqslant \dfrac{1}{1 - x}.
  3. En déduire un encadrement de e0,1e^{0{,}1} et compare avec la valeur donnée par la calculatrice.
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  1. exp⁡\exp est convexe sur R\mathbb{R} (exp⁡′′=exp⁡>0\exp'' = \exp > 0) : sa courbe est au-dessus de sa tangente en 00, d’équation y=x+1y = x + 1.
  2. Avec −x-x : e−x⩾1−xe^{-x} \geqslant 1 - x. Si x∈[0 ; 1[x \in [0\,;\,1[, 1−x>01 - x > 0 ; comme e−x=1exe^{-x} = \dfrac1{e^x}, on obtient 1ex⩾1−x>0\dfrac1{e^x} \geqslant 1 - x > 0, donc ex⩽11−xe^x \leqslant \dfrac{1}{1 - x} (la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[). Avec la question 1 : 1+x⩽ex⩽11−x1 + x \leqslant e^x \leqslant \dfrac1{1 - x}.
  3. 1,1⩽e0,1⩽10,9≈1,1111{,}1 \leqslant e^{0{,}1} \leqslant \dfrac{1}{0{,}9} \approx 1{,}111. La calculatrice donne e0,1≈1,105 2e^{0{,}1} \approx 1{,}105\,2 : c’est cohérent.