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Compléments sur la dérivation, convexité — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Dérive $x \mapsto e^{5x}$ .
Dérive $x \mapsto (x + 2)^2$ .
Si $u(x) = 2x$ et $v(x) = x^2$ , que vaut $(v \circ u)(x)$ ?
Donne $f''$ pour $f(x) = x^3$ .
La fonction carré est-elle convexe ou concave sur $\mathbb{R}$ ?
Équation de la tangente en $0$ à la courbe de $\exp$ ?
Quel est le signe de $e^{-x^2}$ ?
Si $f'' < 0$ sur $I$ , la courbe est-elle au-dessus ou en dessous de ses tangentes ?

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$5e^{5x}$ .
$2(x + 2)$ .
$(2x)^2 = 4x^2$ .
$f''(x) = 6x$ .
Convexe.
$y = x + 1$ .
Strictement positif.
En dessous (la fonction est concave).

Exercice 2 (5 points) — Dérivées de composées

Dérive chaque fonction (1,25 point par question).

$f(x) = (1 - 4x)^3$
$g(x) = e^{3x^2 + 1}$
$h(x) = \sqrt{5 - 2x}$ sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac52\right[$
$k(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$

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$f'(x) = 3 \times (-4) \times (1 - 4x)^2 = -12(1 - 4x)^2$ .
$g'(x) = 6x\,e^{3x^2 + 1}$ .
$h'(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{5 - 2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5 - 2x}}$ .
$k'(x) = -\dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}$ .

Exercice 3 (4 points) — Démonstration de cours

Soit $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ avec $f'' \geqslant 0$ sur $I$ , et $a \in I$ . On pose $g(x) = f(x) - \big[f'(a)(x - a) + f(a)\big]$ .

Que représente géométriquement $g(x)$ ? (1 point)
Calcule $g'(x)$ et étudie son signe. (2 points)
Conclus sur la position de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente en $a$ . (1 point)

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$y = f'(a)(x - a) + f(a)$ est l'équation de la tangente en $a$ : $g(x)$ est l'écart (vertical) entre la courbe et la tangente au point d'abscisse $x$ .
$g'(x) = f'(x) - f'(a)$ . Comme $f'' \geqslant 0$ , $f'$ est croissante sur $I$ : si $x \leqslant a$ , $f'(x) \leqslant f'(a)$ donc $g'(x) \leqslant 0$ ; si $x \geqslant a$ , $g'(x) \geqslant 0$ .
$g$ est décroissante puis croissante, de minimum $g(a) = 0$ : $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x \in I$ . La courbe est au-dessus de sa tangente en $a$ .

Exercice 4 (7 points) — Étude complète

Soit $f(x) = (x + 1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f'(x) = -x\,e^{-x}$ et dresse le tableau de variations de $f$ (sans les limites). (2 points)
En déduire que, pour tout réel $x$ , $(x + 1)e^{-x} \leqslant 1$ . (1 point)
Montre que $f''(x) = (x - 1)e^{-x}$ , puis étudie la convexité de $f$ . (2 points)
Donne les coordonnées exactes du point d'inflexion. (1 point)
Détermine une équation de la tangente en $1$ et déduis-en que, pour tout $x \geqslant 1$ , $(x + 1)e^{-x} \geqslant \dfrac{3 - x}{e}$ . (1 point)

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$f'(x) = e^{-x} + (x + 1)(-e^{-x}) = (1 - x - 1)e^{-x} = -x\,e^{-x}$ , du signe de $-x$ . $f$ croît sur $]-\infty\,;\,0]$ , décroît sur $[0\,;\,+\infty[$ ; maximum $f(0) = 1$ .
Le maximum de $f$ sur $\mathbb{R}$ vaut $1$ : $f(x) \leqslant 1$ pour tout $x$ .
$f''(x) = -e^{-x} + (-x)(-e^{-x}) = (x - 1)e^{-x}$ , du signe de $x - 1$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1]$ et convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ .
$f''$ s'annule en changeant de signe en $1$ : point d'inflexion $\left(1\,;\,\dfrac2e\right)$ .
$f'(1) = -\dfrac1e$ : tangente $y = -\dfrac1e(x - 1) + \dfrac2e = \dfrac{3 - x}{e}$ . Sur $[1\,;\,+\infty[$ , $f$ est convexe : sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier de celle en $1$ . D'où $(x + 1)e^{-x} \geqslant \dfrac{3 - x}{e}$ pour $x \geqslant 1$ .