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Terminale⏱ 2 à 3 semaines

Nombres complexes et trigonométrie : forme exponentielle

Ce que tu vas apprendre

  • Démontrer une formule d'addition à partir du produit scalaire et en déduire les formules de duplication
  • Calculer le module et un argument d'un produit, d'un quotient, d'une puissance
  • Utiliser la notation exponentielle e^(iθ) et la forme exponentielle d'un nombre complexe
  • Choisir la forme adaptée (algébrique, trigonométrique, exponentielle) pour calculer
  • Utiliser la formule de Moivre pour calculer des puissances
  • Utiliser les formules d'Euler pour linéariser et transformer des expressions trigonométriques
Notions cléscos(a − b) = cos a cos b + sin a sin barg(zz') = arg z + arg z'e^(iθ) = cos θ + i sin θforme exponentielle r e^(iθ)formule de Moivreformules d'Euler

Ce que tu sais déjà. Tu connais la forme trigonométrique z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) (Module, argument, forme trigonométrique), le produit scalaire (Première — Produit scalaire) et les fonctions sinus et cosinus (Terminale — Fonctions sinus et cosinus). Ce chapitre montre que multiplier des nombres complexes, c’est ajouter des angles : la trigonométrie devient du calcul algébrique.

1. Formules d’addition et de duplication

Théorème. Pour tous réels aa et bb : cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b,cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b,\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b, \qquad \cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b, sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b,sin⁡(a−b)=sin⁡acos⁡b−cos⁡asin⁡b.\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b, \qquad \sin(a - b) = \sin a\cos b - \cos a\sin b.

🧠 Démonstration de la formule de cos(a − b) (exigible au programme)

Dans un repère orthonormé direct (O ; u⃗,v⃗)(O\,;\,\vec u, \vec v), considérons les vecteurs unitaires p⃗(cos⁡a ; sin⁡a)\vec p(\cos a\,;\,\sin a) et q⃗(cos⁡b ; sin⁡b)\vec q(\cos b\,;\,\sin b) : ils forment avec u⃗\vec u des angles aa et bb, donc (q⃗,p⃗)=a−b [2π](\vec q, \vec p) = a - b\ [2\pi].

Calculons p⃗⋅q⃗\vec p \cdot \vec q de deux façons :

  • avec les coordonnées : p⃗⋅q⃗=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\vec p \cdot \vec q = \cos a\cos b + \sin a\sin b ;
  • avec les normes et l’angle : p⃗⋅q⃗=∥p⃗∥ ∥q⃗∥cos⁡(a−b)=cos⁡(a−b)\vec p \cdot \vec q = \|\vec p\|\,\|\vec q\|\cos(a - b) = \cos(a - b).

D’où cos⁡(a−b)=cos⁡acos⁡b+sin⁡asin⁡b\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b.

Les autres formules s’en déduisent. En remplaçant bb par −b-b : cos⁡(a+b)=cos⁡acos⁡b−sin⁡asin⁡b\cos(a + b) = \cos a\cos b - \sin a\sin b. Puis sin⁡(a+b)=cos⁡(π2−a−b)=cos⁡((π2−a)−b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a + b) = \cos\left(\dfrac\pi2 - a - b\right) = \cos\left(\left(\dfrac\pi2 - a\right) - b\right) = \sin a\cos b + \cos a\sin b.

Formules de duplication (avec a=ba = b) : cos⁡(2a)=cos⁡2a−sin⁡2a=2cos⁡2a−1=1−2sin⁡2a,sin⁡(2a)=2sin⁡acos⁡a.\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a, \qquad \sin(2a) = 2\sin a\cos a.

Exemple. cos⁡π12=cos⁡(π3−π4)=12×22+32×22=2+64\cos\dfrac{\pi}{12} = \cos\left(\dfrac\pi3 - \dfrac\pi4\right) = \dfrac12 \times \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Argument d’un produit, d’un quotient, d’une puissance

Propriété. Soit z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) et z′=r′(cos⁡θ′+isin⁡θ′)z' = r'(\cos\theta' + i\sin\theta') non nuls. Alors zz′=rr′(cos⁡(θ+θ′)+isin⁡(θ+θ′)).zz' = rr'\big(\cos(\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')\big).

Démonstration. (cos⁡θ+isin⁡θ)(cos⁡θ′+isin⁡θ′)=(cos⁡θcos⁡θ′−sin⁡θsin⁡θ′)+i(sin⁡θcos⁡θ′+cos⁡θsin⁡θ′)(\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta' + i\sin\theta') = (\cos\theta\cos\theta' - \sin\theta\sin\theta') + i(\sin\theta\cos\theta' + \cos\theta\sin\theta'), et on reconnaît les formules d’addition.

Conséquences. Pour zz, z′z' non nuls et nn entier naturel : arg⁡(zz′)=arg⁡z+arg⁡z′,arg⁡(1z)=−arg⁡z[2π],\arg(zz') = \arg z + \arg z', \qquad \arg\left(\frac1z\right) = -\arg z \quad [2\pi], arg⁡(zz′)=arg⁡z−arg⁡z′,arg⁡(zn)=narg⁡z[2π].\arg\left(\frac{z}{z'}\right) = \arg z - \arg z', \qquad \arg(z^n) = n\arg z \quad [2\pi].

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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPZYQJa0eHULRISeumuXfQZnGPD4q/B3P13IwxkuS68t5YYEtCeOognvBlsDOopVSUzGlv5UWwwh+ubzA9c/ZQykVF4= x y −2 −2 −1 −1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4 0 0 z : module 2, argument π/9 z : module 2, argument π/9 zz′ : module 3, argument π/9 + π/3 zz′ : module 3, argument π/9 + π/3 + π/3 + π/3
Multiplier z par z′ = 1,5(cos(π/3) + i sin(π/3)) : le module est multiplié par 1,5 et l'angle augmente de π/3.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Forme exponentielle

Définition (notation). Pour tout réel θ\theta, on pose eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ.e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta. C’est le nombre complexe de module 11 et d’argument θ\theta : son image est le point du cercle trigonométrique associé à θ\theta.

Relation fonctionnelle. Pour tous réels θ\theta et θ′\theta' : eiθ×eiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta} \times e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} (c’est la propriété du § 2), comme pour l’exponentielle réelle. De plus, eiθ‾=e−iθ=1eiθ\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta} = \dfrac{1}{e^{i\theta}}.

Valeurs à connaître. ei0=1e^{i0} = 1, eiπ/2=ie^{i\pi/2} = i, eiπ=−1e^{i\pi} = -1 (d’où la célèbre formule d’Euler eiπ+1=0e^{i\pi} + 1 = 0), e−iπ/2=−ie^{-i\pi/2} = -i, e2iπ=1e^{2i\pi} = 1.

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AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAPZYQBwpHSFC0ujcq988e2xx8PYS2viaT7YZzMi+/A6sXYTMaBccsVFTsY/N/4gxyrBSUR9izrFQEdNKPjZN/kbKb40= x y −1,5 −1,5 −1 −1 −0,5 −0,5 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 −1,5 −1,5 −1 −1 −0,5 −0,5 0,5 0,5 1 1 1,5 1,5 0 0 e^(iθ) e^(iθ) cos θ cos θ sin θ sin θ θ 1 = e^(i0) 1 = e^(i0) i = e^(iπ/2) i = e^(iπ/2) −1 = e^(iπ) −1 = e^(iπ) −i = e^(−iπ/2) −i = e^(−iπ/2)
e^(iθ) = cos θ + i sin θ est le point du cercle trigonométrique d'angle θ.

Définition (forme exponentielle). Tout nombre complexe non nul s’écrit z=reiθz = re^{i\theta} avec r=∣z∣>0r = |z| > 0 et θ=arg⁡z\theta = \arg z.

Règles de calcul. reiθ×r′eiθ′=rr′ei(θ+θ′)re^{i\theta} \times r'e^{i\theta'} = rr'e^{i(\theta + \theta')} ; reiθr′eiθ′=rr′ei(θ−θ′)\dfrac{re^{i\theta}}{r'e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}e^{i(\theta - \theta')} ; (reiθ)n=rneinθ\left(re^{i\theta}\right)^n = r^ne^{in\theta} ; reiθ‾=re−iθ\overline{re^{i\theta}} = re^{-i\theta}.

📋 Méthode — Choisir la bonne forme
  • Pour additionner, la forme algébrique est la plus simple.
  • Pour multiplier, diviser, élever à une puissance, la forme exponentielle est la plus simple.

Exemple : z=(1+i)6(3−i)2z = \dfrac{(1 + i)^{6}}{(\sqrt3 - i)^{2}}. On écrit 1+i=2eiπ/41 + i = \sqrt2 e^{i\pi/4} et 3−i=2e−iπ/6\sqrt3 - i = 2e^{-i\pi/6}. Alors z=(2)6e6iπ/44e−2iπ/6=84ei(3π/2+π/3)=2e11iπ/6=2e−iπ/6=3−iz = \dfrac{(\sqrt2)^6 e^{6i\pi/4}}{4e^{-2i\pi/6}} = \dfrac84 e^{i(3\pi/2 + \pi/3)} = 2e^{11i\pi/6} = 2e^{-i\pi/6} = \sqrt3 - i.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Formule de Moivre

Théorème (formule de Moivre). Pour tout réel θ\theta et tout entier naturel nn : (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ),c’est-aˋ-dire(eiθ)n=einθ.(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta), \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \left(e^{i\theta}\right)^n = e^{in\theta}.

Application : exprimer cos⁡(nθ)\cos(n\theta) en fonction de cos⁡θ\cos\theta et sin⁡θ\sin\theta. On développe le membre de gauche avec la formule du binôme et on identifie les parties réelles et imaginaires.

Exemple (n=3n = 3). Avec c=cos⁡θc = \cos\theta, s=sin⁡θs = \sin\theta : (c+is)3=c3+3c2(is)+3c(is)2+(is)3=(c3−3cs2)+i(3c2s−s3)(c + is)^3 = c^3 + 3c^2(is) + 3c(is)^2 + (is)^3 = (c^3 - 3cs^2) + i(3c^2s - s^3). Donc cos⁡(3θ)=c3−3cs2=4c3−3c\cos(3\theta) = c^3 - 3cs^2 = 4c^3 - 3c (avec s2=1−c2s^2 = 1 - c^2) et sin⁡(3θ)=3c2s−s3=3s−4s3\sin(3\theta) = 3c^2s - s^3 = 3s - 4s^3.

Application : puissances. (1+i3)9=(2eiπ/3)9=512e3iπ=512eiπ=−512(1 + i\sqrt3)^{9} = \left(2e^{i\pi/3}\right)^9 = 512e^{3i\pi} = 512e^{i\pi} = -512.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Formules d’Euler et linéarisation

Théorème (formules d’Euler). Pour tout réel θ\theta : cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i.\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.

Justification. eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta et e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θe^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta ; on les additionne ou on les soustrait.

Linéariser une expression, c’est écrire une puissance de cos⁡\cos ou de sin⁡\sin comme une somme de cos⁡(kθ)\cos(k\theta) et sin⁡(kθ)\sin(k\theta) : c’est utile pour trouver des primitives.

📋 Méthode — Linéariser cos³θ

cos⁡3θ=(eiθ+e−iθ2)3=18(e3iθ+3eiθ+3e−iθ+e−3iθ)=18(2cos⁡(3θ)+6cos⁡θ)=cos⁡(3θ)+3cos⁡θ4.\cos^3\theta = \left(\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\right)^3 = \frac18\left(e^{3i\theta} + 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} + e^{-3i\theta}\right) = \frac18\left(2\cos(3\theta) + 6\cos\theta\right) = \frac{\cos(3\theta) + 3\cos\theta}{4}.

Application : une primitive de cos⁡3\cos^3 est x↦sin⁡(3x)12+3sin⁡x4x \mapsto \dfrac{\sin(3x)}{12} + \dfrac{3\sin x}{4}, et ∫0π/2cos⁡3x dx=−112+34=23\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^3 x\,dx = -\dfrac{1}{12} + \dfrac34 = \dfrac23.

Factorisation par l’angle moitié. eiθ+1=eiθ/2(eiθ/2+e−iθ/2)=2cos⁡(θ2)eiθ/2e^{i\theta} + 1 = e^{i\theta/2}\left(e^{i\theta/2} + e^{-i\theta/2}\right) = 2\cos\left(\dfrac\theta2\right)e^{i\theta/2} : utile pour le module et l’argument de 1+eiθ1 + e^{i\theta}.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

  • cos⁡(a±b)=cos⁡acos⁡b∓sin⁡asin⁡b\cos(a \pm b) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b ; sin⁡(a±b)=sin⁡acos⁡b±cos⁡asin⁡b\sin(a \pm b) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b ; cos⁡2a=2cos⁡2a−1\cos 2a = 2\cos^2 a - 1, sin⁡2a=2sin⁡acos⁡a\sin 2a = 2\sin a\cos a.
  • arg⁡(zz′)=arg⁡z+arg⁡z′\arg(zz') = \arg z + \arg z', arg⁡(zn)=narg⁡z\arg(z^n) = n\arg z ; les modules se multiplient.
  • eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta ; eiθeiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')} ; z=reiθz = re^{i\theta}.
  • Moivre : (eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}. Euler : cos⁡θ=eiθ+e−iθ2\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.