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Nombres complexes et trigonométrie : forme exponentielle — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Forme algébrique de $e^{i\pi}$ ?
Forme exponentielle de $-2i$ ?
Forme exponentielle de $1 + i$ ?
$e^{i\pi/3} \times e^{i\pi/6}$ ?
$\left(e^{i\pi/4}\right)^8$ ?
Conjugué de $3e^{i\pi/5}$ ?
Développe $\sin(2a)$ .
$\dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$ ?

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$-1$ .
$2e^{-i\pi/2}$ .
$\sqrt2e^{i\pi/4}$ .
$e^{i\pi/2} = i$ .
$e^{2i\pi} = 1$ .
$3e^{-i\pi/5}$ .
$2\sin a\cos a$ .
$\cos x$ .

Exercice 2 (3 points) — Démonstration de cours

À l'aide du produit scalaire des vecteurs $\vec p(\cos a\,;\,\sin a)$ et $\vec q(\cos b\,;\,\sin b)$ , démontre que $\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ .

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$\vec p$ et $\vec q$ sont unitaires et $(\vec q, \vec p) = a - b\ [2\pi]$ (ils font avec $\vec u$ des angles $a$ et $b$ ). D'une part, $\vec p \cdot \vec q = \|\vec p\|\,\|\vec q\|\cos(a - b) = \cos(a - b)$ ; d'autre part, en repère orthonormé, $\vec p \cdot \vec q = \cos a\cos b + \sin a\sin b$ . D'où l'égalité.

Exercice 3 (6 points) — Calculs en forme exponentielle

On pose $z_1 = -\sqrt3 + i$ et $z_2 = 2 - 2i$ .

Écris $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle. (2 points)
En déduire la forme exponentielle de $z_1z_2$ et de $\dfrac{z_1}{z_2}$ . (2 points)
Calcule $z_1^{\,6}$ . (1 point)
Détermine le plus petit entier naturel $n \geqslant 1$ tel que $z_2^{\,n}$ soit un réel positif. (1 point)

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$|z_1| = 2$ , $\cos\theta_1 = -\dfrac{\sqrt3}{2}$ , $\sin\theta_1 = \dfrac12$ : $z_1 = 2e^{5i\pi/6}$ . $|z_2| = 2\sqrt2$ , $\cos\theta_2 = \dfrac{\sqrt2}{2}$ , $\sin\theta_2 = -\dfrac{\sqrt2}{2}$ : $z_2 = 2\sqrt2 e^{-i\pi/4}$ .
$z_1z_2 = 4\sqrt2 e^{i(5\pi/6 - \pi/4)} = 4\sqrt2 e^{7i\pi/12}$ ; $\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{2}{2\sqrt2}e^{i(5\pi/6 + \pi/4)} = \dfrac{\sqrt2}{2}e^{13i\pi/12} = \dfrac{\sqrt2}{2}e^{-11i\pi/12}$ .
$z_1^{\,6} = 64e^{5i\pi} = 64e^{i\pi} = -64$ .
$z_2^{\,n} = (2\sqrt2)^n e^{-in\pi/4}$ est réel positif si et seulement si $\dfrac{n\pi}{4}$ est un multiple de $2\pi$ , soit $n$ multiple de $8$ : $n = 8$ .

Exercice 4 (7 points) — Trigonométrie

À l'aide de la formule de Moivre, montre que $\cos(3\theta) = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ . (3 points)
À l'aide des formules d'Euler, linéarise $\sin^3\theta$ : montre que $\sin^3\theta = \dfrac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}$ . (3 points)
En déduire $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^3 x\,dx$ . (1 point)

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Par Moivre, $\cos(3\theta) + i\sin(3\theta) = (\cos\theta + i\sin\theta)^3$ . Avec $c = \cos\theta$ , $s = \sin\theta$ , la partie réelle du développement est $c^3 + 3c(is)^2 = c^3 - 3cs^2$ . Donc $\cos(3\theta) = c^3 - 3c(1 - c^2) = 4c^3 - 3c$ .
$\sin^3\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right)^3 = \dfrac{e^{3i\theta} - 3e^{i\theta} + 3e^{-i\theta} - e^{-3i\theta}}{(2i)^3}$ . Or $(2i)^3 = -8i$ et $e^{3i\theta} - e^{-3i\theta} = 2i\sin(3\theta)$ , $e^{i\theta} - e^{-i\theta} = 2i\sin\theta$ . Donc $\sin^3\theta = \dfrac{2i\sin(3\theta) - 6i\sin\theta}{-8i} = \dfrac{3\sin\theta - \sin(3\theta)}{4}$ .
$\displaystyle\int_0^\pi\sin^3 x\,dx = \left[\dfrac{-3\cos x}{4} + \dfrac{\cos(3x)}{12}\right]_0^\pi = \left(\dfrac34 - \dfrac{1}{12}\right) - \left(-\dfrac34 + \dfrac{1}{12}\right) = \dfrac43$ .