Terminale

Nombres complexes et trigonométrie : forme exponentielle — Exercices d'application

1. Formules d’addition et de duplication

Calcule la valeur exacte de $\sin\dfrac{\pi}{12}$ et de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ (on écrira $\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac\pi3 + \dfrac\pi4$ ).
À l’aide de $\cos(2a) = 2\cos^2 a - 1$ , calcule la valeur exacte de $\cos\dfrac\pi8$ (qui est positif).
Montre que pour tout réel $x$ , $\cos^4 x - \sin^4 x = \cos(2x)$ .

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$\sin\dfrac{\pi}{12} = \sin\left(\dfrac\pi3 - \dfrac\pi4\right) = \dfrac{\sqrt3}{2} \times \dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac12 \times \dfrac{\sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$ . $\cos\dfrac{7\pi}{12} = \cos\dfrac\pi3\cos\dfrac\pi4 - \sin\dfrac\pi3\sin\dfrac\pi4 = \dfrac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}$ .
$\cos\dfrac\pi4 = 2\cos^2\dfrac\pi8 - 1$ , donc $\cos^2\dfrac\pi8 = \dfrac{1 + \frac{\sqrt2}{2}}{2} = \dfrac{2 + \sqrt2}{4}$ et $\cos\dfrac\pi8 = \dfrac{\sqrt{2 + \sqrt2}}{2}$ .
$\cos^4 x - \sin^4 x = (\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos^2 x + \sin^2 x) = \cos(2x) \times 1$ .

On pose $z_1 = 1 + i$ et $z_2 = 1 - i\sqrt3$ .

Donne le module et un argument de $z_1$ et de $z_2$ .
En déduire le module et un argument de $z_1z_2$ , de $\dfrac{z_1}{z_2}$ et de $z_2^{\,3}$ .
Calcule $z_1z_2$ sous forme algébrique. En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)$ .

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$|z_1| = \sqrt2$ , $\arg z_1 = \dfrac\pi4$ ; $|z_2| = 2$ , $\arg z_2 = -\dfrac\pi3$ .
$z_1z_2$ : module $2\sqrt2$ , argument $\dfrac\pi4 - \dfrac\pi3 = -\dfrac{\pi}{12}$ . $\dfrac{z_1}{z_2}$ : module $\dfrac{\sqrt2}{2}$ , argument $\dfrac\pi4 + \dfrac\pi3 = \dfrac{7\pi}{12}$ . $z_2^{\,3}$ : module $8$ , argument $-\pi$ ( $z_2^{\,3} = -8$ ).
$z_1z_2 = 1 - i\sqrt3 + i + \sqrt3 = (1 + \sqrt3) + i(1 - \sqrt3)$ . Or $z_1z_2 = 2\sqrt2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) + i\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right)\right)$ , donc $\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1 + \sqrt3}{2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2 + \sqrt6}{4}$ et $\sin\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{1 - \sqrt3}{2\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2 - \sqrt6}{4}$ .

Écris sous forme exponentielle : $-3$ ; $2i$ ; $-1 - i$ ; $\sqrt3 + i$ ; $-5e^{i\pi/7}$ .
Écris sous forme algébrique : $4e^{i\pi/6}$ ; $e^{-3i\pi/4}$ ; $2e^{i\pi/2} \times 3e^{i\pi/3}$ .

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$3e^{i\pi}$ ; $2e^{i\pi/2}$ ; $\sqrt2 e^{-3i\pi/4}$ ; $2e^{i\pi/6}$ ; $-5e^{i\pi/7} = 5e^{i\pi}e^{i\pi/7} = 5e^{8i\pi/7}$ (ou $5e^{-6i\pi/7}$ ).
$4\left(\dfrac{\sqrt3}{2} + \dfrac i2\right) = 2\sqrt3 + 2i$ ; $-\dfrac{\sqrt2}{2} - \dfrac{\sqrt2}{2}i$ ; $6e^{5i\pi/6} = -3\sqrt3 + 3i$ .

Détermine la forme exponentielle puis la forme algébrique de $Z = \dfrac{(1 - i)^{5}}{(1 + i\sqrt3)^{3}}$ .
Pour quelles valeurs de l’entier naturel $n$ le nombre $(1 + i)^n$ est-il réel ? réel positif ?

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$1 - i = \sqrt2e^{-i\pi/4}$ et $1 + i\sqrt3 = 2e^{i\pi/3}$ . $Z = \dfrac{4\sqrt2\,e^{-5i\pi/4}}{8e^{i\pi}} = \dfrac{\sqrt2}{2}e^{-9i\pi/4} = \dfrac{\sqrt2}{2}e^{-i\pi/4} = \dfrac12 - \dfrac12 i$ .
$(1 + i)^n = (\sqrt2)^ne^{in\pi/4}$ . Il est réel si et seulement si $\dfrac{n\pi}{4} = k\pi$ , soit $n$ multiple de $4$ ; réel positif si et seulement si $\dfrac{n\pi}{4} = 2k\pi$ , soit $n$ multiple de $8$ .

Calcule $(\sqrt3 + i)^{12}$ et $(1 - i)^{20}$ .
À l’aide de la formule de Moivre avec $n = 2$ , retrouve les formules de duplication.
Exprime $\sin(4\theta)$ en fonction de $\cos\theta$ et $\sin\theta$ .

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$(\sqrt3 + i)^{12} = \left(2e^{i\pi/6}\right)^{12} = 4\,096e^{2i\pi} = 4\,096$ . $(1 - i)^{20} = \left(\sqrt2e^{-i\pi/4}\right)^{20} = 2^{10}e^{-5i\pi} = -1\,024$ .
$(\cos\theta + i\sin\theta)^2 = \cos^2\theta - \sin^2\theta + 2i\sin\theta\cos\theta = \cos(2\theta) + i\sin(2\theta)$ : on identifie $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$ et $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$ .
$(c + is)^4 = c^4 + 4c^3(is) + 6c^2(is)^2 + 4c(is)^3 + (is)^4$ ; sa partie imaginaire est $4c^3s - 4cs^3$ . Donc $\sin(4\theta) = 4\cos^3\theta\sin\theta - 4\cos\theta\sin^3\theta$ .

Linéarise $\sin^2\theta$ puis $\cos^2\theta\sin^2\theta$ à l’aide des formules d’Euler.
En déduire $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$ .

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$\sin^2\theta = \left(\dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\right)^2 = \dfrac{e^{2i\theta} - 2 + e^{-2i\theta}}{-4} = \dfrac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ . $\cos\theta\sin\theta = \dfrac{\sin(2\theta)}{2}$ , donc $\cos^2\theta\sin^2\theta = \dfrac{\sin^2(2\theta)}{4} = \dfrac{1 - \cos(4\theta)}{8}$ .
$\displaystyle\int_0^\pi \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}\,dx = \left[\dfrac x2 - \dfrac{\sin(2x)}{4}\right]_0^\pi = \dfrac\pi2$ .

Soit $\theta \in \,]-\pi\,;\,\pi[$ et $z = 1 + e^{i\theta}$ .

Montre que $z = 2\cos\left(\dfrac\theta2\right)e^{i\theta/2}$ .
En déduire le module et un argument de $z$ .
Application : module et argument de $1 + e^{2i\pi/3}$ . Vérifie par la forme algébrique.

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$1 + e^{i\theta} = e^{i\theta/2}\left(e^{-i\theta/2} + e^{i\theta/2}\right) = e^{i\theta/2} \times 2\cos\dfrac\theta2$ (formule d’Euler).
Pour $\theta \in \,]-\pi\,;\,\pi[$ , $\dfrac\theta2 \in \left]-\dfrac\pi2\,;\,\dfrac\pi2\right[$ donc $\cos\dfrac\theta2 > 0$ : c’est une forme exponentielle. $|z| = 2\cos\dfrac\theta2$ et $\arg z = \dfrac\theta2$ .
$\theta = \dfrac{2\pi}{3}$ : module $2\cos\dfrac\pi3 = 1$ , argument $\dfrac\pi3$ . En effet $1 + e^{2i\pi/3} = 1 - \dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2} = \dfrac12 + i\dfrac{\sqrt3}{2} = e^{i\pi/3}$ .