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La fonction logarithme népérien — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

$\ln 1$ ?
$\ln(e^{-2})$ ?
$e^{\ln 4}$ ?
Écris $\ln 8$ en fonction de $\ln 2$ .
Résous $e^x = 3$ .
Dérive $x \mapsto \ln x + x^2$ .
$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x$ ?
Quel est le signe de $\ln 0{,}5$ ?

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$0$ .
$-2$ .
$4$ .
$3\ln 2$ .
$x = \ln 3$ .
$\dfrac1x + 2x$ .
$-\infty$ .
Négatif ( $0 < 0{,}5 < 1$ ).

Exercice 2 (5 points) — Calculs et équations

Exprime $A = \ln 50 - 2\ln 5 + \ln\dfrac14$ en fonction de $\ln 2$ . (1,5 point)
Résous $\ln(x + 3) + \ln(x - 1) = \ln 5$ . (2 points)
Résous $e^{2x} - e^x - 6 = 0$ . (1,5 point)

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$A = \ln(2 \times 25) - \ln 25 + \ln 1 - \ln 4 = \ln 2 + \ln 25 - \ln 25 - 2\ln 2 = -\ln 2$ .
Il faut $x + 3 > 0$ et $x - 1 > 0$ , soit $x > 1$ . $\ln\big((x+3)(x-1)\big) = \ln 5 \iff x^2 + 2x - 3 = 5 \iff x^2 + 2x - 8 = 0$ . $\Delta = 36$ : $x = 2$ ou $x = -4$ . Seul $x = 2$ convient : $\mathcal{S} = \{2\}$ .
$X = e^x > 0$ : $X^2 - X - 6 = 0 \iff X = 3$ ou $X = -2$ . $e^x = -2$ est impossible ; $e^x = 3 \iff x = \ln 3$ .

Exercice 3 (3 points) — Démonstration de cours

On admet que $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ . En dérivant les deux membres de l'égalité $e^{\ln x} = x$ , démontre que $(\ln x)' = \dfrac1x$ .

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Pour $x > 0$ , on dérive $x \mapsto e^{\ln x}$ comme une composée $e^u$ avec $u = \ln$ : sa dérivée est $\ln'(x)\,e^{\ln x} = \ln'(x) \times x$ . La dérivée de $x \mapsto x$ vaut $1$ . Donc $x \times \ln'(x) = 1$ , et $\ln'(x) = \dfrac1x$ .

Exercice 4 (5 points) — Étude de fonction

Soit $f(x) = x - 1 - \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .

Détermine la limite de $f$ en $0$ . (1 point)
En écrivant $f(x) = x\left(1 - \dfrac1x - \dfrac{\ln x}{x}\right)$ , détermine la limite de $f$ en $+\infty$ . (1 point)
Étudie les variations de $f$ et donne son minimum. (2 points)
En déduire que, pour tout $x > 0$ , $\ln x \leqslant x - 1$ . (1 point)

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En $0^+$ : $x - 1 \to -1$ et $-\ln x \to +\infty$ : $\lim f = +\infty$ .
$\dfrac1x \to 0$ et $\dfrac{\ln x}{x} \to 0$ (croissance comparée) : la parenthèse tend vers $1$ et $\lim f = +\infty$ .
$f'(x) = 1 - \dfrac1x = \dfrac{x - 1}{x}$ , du signe de $x - 1$ (car $x > 0$ ). $f$ décroît sur $]0\,;\,1]$ et croît sur $[1\,;\,+\infty[$ ; minimum $f(1) = 0$ .
Pour tout $x > 0$ , $f(x) \geqslant 0$ , soit $x - 1 - \ln x \geqslant 0$ : $\ln x \leqslant x - 1$ .

Exercice 5 (3 points) — Placement

On place $1\,000$ € à intérêts composés au taux annuel de $2{,}5\,\%$ .

Exprime le capital $C_n$ au bout de $n$ années. (1 point)
Au bout de combien d'années le capital dépassera-t-il $1\,500$ € ? Résous par le calcul. (2 points)

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$C_n = 1\,000 \times 1{,}025^n$ .
$1\,000 \times 1{,}025^n > 1\,500 \iff 1{,}025^n > 1{,}5 \iff n\ln 1{,}025 > \ln 1{,}5 \iff n > \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}025} \approx 16{,}4$ (car $\ln 1{,}025 > 0$ ). Le capital dépasse $1\,500$ € au bout de $17$ ans.