La fonction logarithme népérien

Ce que tu sais déjà. Tu connais la fonction exponentielle, ses propriétés algébriques et ses variations (Première — Fonction exponentielle), ses limites (Terminale — Limites de fonctions) et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (Terminale — Continuité). Le logarithme permet de « défaire » l’exponentielle : résoudre $e^x = 5$ ou trouver au bout de combien d’années un capital double.

1. Définition

Propriété. Pour tout réel $a > 0$, l’équation $e^x = a$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}$.

Justification. $\exp$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$, de limite $0$ en $-\infty$ et $+\infty$ en $+\infty$ : par le corollaire du TVI, elle prend exactement une fois chaque valeur $a > 0$.

Définition. Cette solution est notée $\ln a$ (logarithme népérien de $a$). La fonction $\ln : x \mapsto \ln x$ est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ : c’est la fonction réciproque de l’exponentielle.

Conséquences.

• Pour tout $a > 0$ et tout réel $x$ : $e^x = a \iff x = \ln a$.
• Pour tout $a > 0$, $e^{\ln a} = a$ ; pour tout réel $x$, $\ln(e^x) = x$.
• $\ln 1 = 0$ (car $e^0 = 1$) et $\ln e = 1$.

Exemples. $e^x = 7 \iff x = \ln 7 \approx 1{,}946$. $\ln(e^{-3}) = -3$. $e^{\ln 5} = 5$. $e^x = -2$ n’a pas de solution.

Attention. $\ln a$ n’existe que pour $a > 0$ : $\ln 0$ et $\ln(-2)$ n’ont aucun sens.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Propriétés algébriques

Propriété fondamentale. Pour tous réels $a > 0$ et $b > 0$ : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

Démonstration. $e^{\ln(ab)} = ab$ et $e^{\ln a + \ln b} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = ab$. Deux réels qui ont la même exponentielle sont égaux ($\exp$ est strictement croissante) : $\ln(ab) = \ln a + \ln b$.

Conséquences. Pour tous $a > 0$, $b > 0$ et tout entier relatif $n$ :

Le logarithme transforme les produits en sommes : c’est pour cela qu’il a été inventé (Neper, 1614), pour simplifier les calculs des astronomes.

Exemples.

• $\ln 12 - \ln 3 = \ln\dfrac{12}{3} = \ln 4 = \ln(2^2) = 2\ln 2$.
• $\ln 72 = \ln(2^3 \times 3^2) = 3\ln 2 + 2\ln 3$.
• $\ln\dfrac{e^2}{\sqrt e} = \ln(e^2) - \ln\sqrt e = 2 - \dfrac12 = \dfrac32$.

Piège. $\ln(a + b) \neq \ln a + \ln b$ : c’est le produit qui devient une somme.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Équations, inéquations et seuils

Propriété. $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;\,+\infty[$ (voir § 4). Pour tous $a > 0$ et $b > 0$ :

$$\ln a = \ln b \iff a = b \qquad\text{et}\qquad \ln a < \ln b \iff a < b.$$

En particulier : $\ln x < 0 \iff 0 < x < 1$ et $\ln x > 0 \iff x > 1$.

Exemples.

• $e^{3x - 1} = 4 \iff 3x - 1 = \ln 4 \iff x = \dfrac{1 + \ln 4}{3}$.
• $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ : on pose $X = e^x$ ; $X^2 - 3X + 2 = 0 \iff X = 1$ ou $X = 2$, d’où $x = 0$ ou $x = \ln 2$.

Problème de seuil. Pour résoudre $q^n > A$ ($q > 0$), on applique $\ln$ (croissante) : $n\ln q > \ln A$, puis on divise par $\ln q$ en faisant attention à son signe.

Exemple. À partir de quelle année un capital placé à $3\,\%$ par an a-t-il doublé ? $1{,}03^n \geqslant 2 \iff n\ln 1{,}03 \geqslant \ln 2 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1{,}03} \approx 23{,}4$ ($\ln 1{,}03 > 0$). Il faut $24$ ans.

Avec $q < 1$. $0{,}8^n < 0{,}01 \iff n\ln 0{,}8 < \ln 0{,}01 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}8} \approx 20{,}6$ (on divise par $\ln 0{,}8 < 0$ : le sens change). Réponse : $n \geqslant 21$.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Étude de la fonction ln

Propriété. La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0\,;\,+\infty[$ et $(\ln x)' = \dfrac1x$.

Conséquences.

• $\dfrac1x > 0$ sur $]0\,;\,+\infty[$ : $\ln$ est strictement croissante.
• $(\ln)''(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0$ : $\ln$ est concave ; sa courbe est sous ses tangentes, en particulier sous la tangente en $1$, d’équation $y = x - 1$ : pour tout $x > 0$, $\ln x \leqslant x - 1$.
• Dérivée d’une composée. Si $u$ est dérivable et strictement positive sur $I$ : $\big(\ln u\big)' = \dfrac{u'}{u}$.

Exemples. $\big(\ln(x^2 + 1)\big)' = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ ; $(x\ln x)' = \ln x + x \times \dfrac1x = \ln x + 1$ ; $\left(\dfrac{\ln x}{x}\right)' = \dfrac{\frac1x \times x - \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Limites et croissances comparées

Propriété. $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty$ (asymptote verticale : l’axe des ordonnées).

Croissances comparées. Pour tout entier $n \geqslant 1$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^n} = 0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x \to 0^+} x^n \ln x = 0.$$

En l’infini, toute puissance de $x$ l’emporte sur le logarithme. Et $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1$ (nombre dérivé de $\ln$ en $1$).

Exemples.

• $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (x - \ln x)$ : FI. $x - \ln x = x\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right)$ et la parenthèse tend vers $1$ : $+\infty$.
• $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} x^2\ln x = 0$ (croissance comparée).

Algorithme de Briggs (XVIIᵉ siècle). Si l’on prend $k$ fois la racine carrée de $a$, on obtient $a^{1/2^k}$, très proche de $1$, et $\ln\left(a^{1/2^k}\right) = \dfrac{\ln a}{2^k} \approx a^{1/2^k} - 1$ (car $\ln(1 + h) \approx h$ pour $h$ petit).

from math import sqrt

def briggs(a, k):
    """Valeur approchée de ln(a) par k extractions de racines carrées."""
    for i in range(k):
        a = sqrt(a)
    return 2**k * (a - 1)

print(briggs(2, 20))   # 0.69314740...  (ln 2 = 0.693147...)

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

• Pour $a > 0$ : $e^x = a \iff x = \ln a$ ; $e^{\ln a} = a$, $\ln(e^x) = x$ ; $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$.
• $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ ; $\ln\frac ab = \ln a - \ln b$ ; $\ln(a^n) = n\ln a$.
• $\ln$ strictement croissante : $\ln a < \ln b \iff a < b$ ; seuil $q^n > A$ : attention au signe de $\ln q$.
• $(\ln x)' = \dfrac1x$, $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ ; $\ln$ concave, $\ln x \leqslant x - 1$.
• $\lim_{+\infty} \ln = +\infty$, $\lim_{0^+} \ln = -\infty$ ; $\dfrac{\ln x}{x^n} \to 0$ en $+\infty$, $x^n\ln x \to 0$ en $0^+$.