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Équations polynomiales dans ℂ — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Solutions dans $\mathbb{C}$ de $z^2 = -16$ ?
Discriminant de $z^2 + z + 1$ ?
Solutions de $z^2 + z + 1 = 0$ ?
Factorise $z^2 + 1$ dans $\mathbb{C}$ .
$z^3 - 1 = (z - 1)(\dots)$ ?
Si $2 - 3i$ est racine d'un polynôme à coefficients réels, quelle autre racine connaît-on ?
Combien de racines au plus a un polynôme de degré $5$ ?
Somme des racines de $3z^2 - 6z + 7 = 0$ ?

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$4i$ et $-4i$ .
$1 - 4 = -3$ .
$-\dfrac12 + \dfrac{\sqrt3}{2}i$ et $-\dfrac12 - \dfrac{\sqrt3}{2}i$ .
$(z - i)(z + i)$ .
$z^2 + z + 1$ .
$2 + 3i$ .
$5$ .
$-\dfrac ba = 2$ .

Exercice 2 (4 points) — Démonstration de cours

Soit $P$ un polynôme de degré $n \geqslant 1$ et $\alpha$ un nombre complexe tel que $P(\alpha) = 0$ . On admet que pour tout entier $k \geqslant 1$ , $z^k - \alpha^k$ se factorise par $z - \alpha$ . Démontre qu'il existe un polynôme $Q$ tel que $P(z) = (z - \alpha)Q(z)$ .

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$P(z) = \sum_{k=0}^{n}a_kz^k$ et $P(\alpha) = 0$ , donc $P(z) = P(z) - P(\alpha) = \sum_{k=1}^{n}a_k(z^k - \alpha^k)$ (les termes $a_0$ se simplifient). Pour chaque $k \geqslant 1$ , $z^k - \alpha^k = (z - \alpha)Q_k(z)$ où $Q_k(z) = z^{k-1} + \alpha z^{k-2} + \dots + \alpha^{k-1}$ est un polynôme. Donc $P(z) = (z - \alpha)\sum_{k=1}^{n}a_kQ_k(z) = (z - \alpha)Q(z)$ avec $Q = \sum a_kQ_k$ , polynôme (de degré $n - 1$ ).

Exercice 3 (5 points) — Second degré

Résous dans $\mathbb{C}$ : $z^2 - 4z + 8 = 0$ . On note $z_1$ la solution de partie imaginaire positive. (2 points)
Écris $z_1$ et $\overline{z_1}$ sous forme exponentielle. (2 points)
Calcule $z_1^{\,4}$ . (1 point)

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$\Delta = 16 - 32 = -16 = (4i)^2$ : $z = \dfrac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$ . Donc $z_1 = 2 + 2i$ .
$|z_1| = 2\sqrt2$ , argument $\dfrac\pi4$ : $z_1 = 2\sqrt2 e^{i\pi/4}$ et $\overline{z_1} = 2\sqrt2 e^{-i\pi/4}$ .
$z_1^{\,4} = (2\sqrt2)^4e^{i\pi} = 64 \times (-1) = -64$ .

Exercice 4 (7 points) — Degré 3

Soit $P(z) = z^3 - 2z^2 + 9z - 18$ .

Calcule $P(2)$ . (1 point)
Détermine les réels $a$ , $b$ , $c$ tels que $P(z) = (z - 2)(az^2 + bz + c)$ . (2 points)
Résous $P(z) = 0$ dans $\mathbb{C}$ . (2 points)
On note $A$ , $B$ , $C$ les images des solutions, $A$ étant sur l'axe réel. Montre que le triangle $ABC$ est isocèle. (2 points)

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$P(2) = 8 - 8 + 18 - 18 = 0$ .
$(z - 2)(az^2 + bz + c) = az^3 + (b - 2a)z^2 + (c - 2b)z - 2c$ . Identification : $a = 1$ , $b - 2 = -2$ donc $b = 0$ , $-2c = -18$ donc $c = 9$ (et $c - 2b = 9$ ✓). $P(z) = (z - 2)(z^2 + 9)$ .
$z = 2$ ou $z^2 = -9$ , soit $z = 3i$ ou $z = -3i$ .
$A(2)$ , $B(3i)$ , $C(-3i)$ : $AB = |3i - 2| = \sqrt{13}$ et $AC = |-3i - 2| = \sqrt{13}$ . $AB = AC$ : le triangle est isocèle en $A$ .