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Équations polynomiales dans ℂ

Ce que tu vas apprendre

Résoudre dans ℂ une équation du second degré à coefficients réels
Démontrer la factorisation de zⁿ − aⁿ par z − a
Démontrer et utiliser : si P(a) = 0, alors P(z) = (z − a)Q(z)
Démontrer qu'un polynôme de degré n admet au plus n racines
Factoriser un polynôme dont une racine est connue et résoudre une équation de degré 3

Notions clésdiscriminant négatifracines complexes conjuguéeszⁿ − aⁿ = (z − a)(zⁿ⁻¹ + … + aⁿ⁻¹)P(a) = 0 ⟺ z − a divise Pau plus n racinesidentification des coefficients

Ce que tu sais déjà. Tu sais résoudre une équation du second degré dans $\mathbb{R}$ avec le discriminant (Première — Second degré : discriminant, racines et signe) et calculer en forme algébrique (Nombres complexes : forme algébrique). Dans $\mathbb{C}$ , toute équation du second degré a des solutions : c’est pour cela que les nombres complexes ont été inventés.

1. Équations du second degré à coefficients réels

Théorème. Soit $a$ , $b$ , $c$ des réels avec $a \neq 0$ , et $\Delta = b^2 - 4ac$ . L’équation $az^2 + bz + c = 0$ admet dans $\mathbb{C}$ :

si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt\Delta}{2a}$ ;
si $\Delta = 0$ : une solution réelle $z_0 = -\dfrac{b}{2a}$ ;
si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_1 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a} \qquad\text{et}\qquad z_2 = \overline{z_1} = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$

Dans tous les cas, $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$ .

🧠 Démonstration du cas où le discriminant est négatif

Forme canonique : $az^2 + bz + c = a\left[\left(z + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{\Delta}{4a^2}\right]$ . Si $\Delta < 0$ , on écrit $-\Delta = \left(\sqrt{-\Delta}\right)^2$ , donc $\Delta = \left(i\sqrt{-\Delta}\right)^2$ . Alors $az^2 + bz + c = a\left[\left(z + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)^2\right] = a\left(z + \frac{b}{2a} - \frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right)\left(z + \frac{b}{2a} + \frac{i\sqrt{-\Delta}}{2a}\right),$ qui s’annule exactement pour $z = z_1$ ou $z = z_2$ .

Exemple. $z^2 - 2z + 5 = 0$ : $\Delta = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$ . Solutions : $z_1 = \dfrac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i$ et $z_2 = 1 - 2i$ . Et $z^2 - 2z + 5 = (z - 1 - 2i)(z - 1 + 2i)$ .

La parabole y = x² − 2x + 5 ne coupe pas l'axe des abscisses (pas de racine réelle), mais l'équation a deux racines complexes conjuguées 1 + 2i et 1 − 2i, symétriques par rapport à l'axe réel.

Somme et produit. Dans tous les cas, $z_1 + z_2 = -\dfrac ba$ et $z_1z_2 = \dfrac ca$ .

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Une factorisation remarquable

Propriété. Pour tous nombres complexes $z$ et $a$ et tout entier $n \geqslant 1$ : $z^n - a^n = (z - a)\left(z^{n-1} + az^{n-2} + a^2z^{n-3} + \dots + a^{n-2}z + a^{n-1}\right) = (z - a)\sum_{k=0}^{n-1} a^kz^{n-1-k}.$

🧠 Démonstration (exigible au programme)

Développons le membre de droite : $(z - a)\sum_{k=0}^{n-1}a^kz^{n-1-k} = \sum_{k=0}^{n-1}a^kz^{n-k} - \sum_{k=0}^{n-1}a^{k+1}z^{n-1-k}.$ Dans la seconde somme, on pose $j = k + 1$ : elle vaut $\sum_{j=1}^{n}a^jz^{n-j}$ . Les deux sommes ont en commun tous les termes $a^jz^{n-j}$ pour $1 \leqslant j \leqslant n - 1$ ; il reste le terme $k = 0$ de la première ( $z^n$ ) et le terme $j = n$ de la seconde ( $a^n$ ) : la différence vaut $z^n - a^n$ (somme « télescopique »).

Exemples. $z^2 - a^2 = (z - a)(z + a)$ ; $z^3 - 8 = (z - 2)(z^2 + 2z + 4)$ ; $z^4 - 1 = (z - 1)(z^3 + z^2 + z + 1)$ . Avec $a = 1$ , on retrouve la somme géométrique : $1 + z + \dots + z^{n-1} = \dfrac{z^n - 1}{z - 1}$ pour $z \neq 1$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Racine d’un polynôme et factorisation

Définition. Une fonction polynôme de degré $n$ est une fonction $P(z) = a_nz^n + \dots + a_1z + a_0$ avec $a_n \neq 0$ . Un nombre $\alpha$ est une racine de $P$ si $P(\alpha) = 0$ .

Théorème. Si $\alpha$ est une racine de $P$ (de degré $n \geqslant 1$ ), alors il existe un polynôme $Q$ de degré $n - 1$ tel que, pour tout $z$ , $P(z) = (z - \alpha)Q(z).$

🧠 Démonstration (exigible au programme)

Comme $P(\alpha) = 0$ : $P(z) = P(z) - P(\alpha) = \sum_{k=1}^{n}a_k\left(z^k - \alpha^k\right)$ (le terme constant $a_0$ disparaît). D’après le § 2, chaque $z^k - \alpha^k$ s’écrit $(z - \alpha)Q_k(z)$ où $Q_k$ est un polynôme de degré $k - 1$ . Donc $P(z) = (z - \alpha)\sum_{k=1}^{n}a_kQ_k(z)$ . Le polynôme $Q = \sum a_kQ_k$ est de degré $n - 1$ (seul $Q_n$ est de degré $n - 1$ , avec le coefficient $a_n \neq 0$ ).

📋 Méthode — Factoriser quand une racine est connue (identification)

$P(z) = z^3 - 3z^2 + 7z - 5$ . On remarque $P(1) = 1 - 3 + 7 - 5 = 0$ . On cherche $Q(z) = z^2 + bz + c$ tel que $P(z) = (z - 1)(z^2 + bz + c)$ . En développant : $z^3 + (b - 1)z^2 + (c - b)z - c$ . On identifie : $b - 1 = -3$ , $c - b = 7$ , $-c = -5$ , d’où $b = -2$ et $c = 5$ . Donc $P(z) = (z - 1)(z^2 - 2z + 5)$ et, avec le § 1, les solutions de $P(z) = 0$ sont $1$ , $1 + 2i$ et $1 - 2i$ .

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

4. Nombre de racines d’un polynôme

Théorème. Un polynôme de degré $n \geqslant 1$ admet au plus $n$ racines dans $\mathbb{C}$ .

🧠 Démonstration par récurrence (exigible au programme)

Initialisation. Un polynôme de degré $1$ , $a_1z + a_0$ avec $a_1 \neq 0$ , a une seule racine $-\dfrac{a_0}{a_1}$ .

Hérédité. Supposons que tout polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines, et soit $P$ de degré $n + 1$ . Si $P$ n’a pas de racine, c’est fini. Sinon, soit $\alpha$ une racine : $P(z) = (z - \alpha)Q(z)$ avec $Q$ de degré $n$ . Si $\beta$ est une racine de $P$ , alors $(\beta - \alpha)Q(\beta) = 0$ , donc $\beta = \alpha$ ou $Q(\beta) = 0$ (un produit de complexes est nul si et seulement si l’un des facteurs l’est). Les racines de $P$ sont donc $\alpha$ et celles de $Q$ , qui sont au plus $n$ : $P$ en a au plus $n + 1$ .

Conséquence. Si un polynôme de degré au plus $n$ s’annule en $n + 1$ valeurs distinctes, c’est le polynôme nul (tous ses coefficients sont nuls). Deux polynômes qui coïncident en une infinité de valeurs ont les mêmes coefficients : c’est ce qui justifie la méthode d’identification.

Remarque culturelle. On admet en fait (théorème de d’Alembert-Gauss) que tout polynôme de degré $n \geqslant 1$ a au moins une racine dans $\mathbb{C}$ , donc se factorise en exactement $n$ facteurs de degré $1$ .

Les trois racines de z³ − 3z² + 7z − 5 : une réelle (1) et deux complexes conjuguées (1 ± 2i).

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

$\Delta < 0$ : racines $\dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ , conjuguées ; $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$ .
$z^n - a^n = (z - a)(z^{n-1} + az^{n-2} + \dots + a^{n-1})$ .
$P(\alpha) = 0 \iff P(z) = (z - \alpha)Q(z)$ avec $\deg Q = \deg P - 1$ ; on trouve $Q$ par identification.
Un polynôme de degré $n$ a au plus $n$ racines.