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Terminale

Équations polynomiales dans ℂ — Exercices d'application

1. Équations du second degré à coefficients réels

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Exercice 1 — ⭐

Résous dans C\mathbb{C} et factorise le premier membre.

  1. z2+9=0z^2 + 9 = 0
  2. z2+4z+13=0z^2 + 4z + 13 = 0
  3. 2z2−2z+1=02z^2 - 2z + 1 = 0
  4. z2−6z+8=0z^2 - 6z + 8 = 0
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  1. z2=−9=(3i)2z^2 = -9 = (3i)^2 : z=3iz = 3i ou z=−3iz = -3i ; z2+9=(z−3i)(z+3i)z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i).
  2. Δ=16−52=−36\Delta = 16 - 52 = -36 : z=−4±6i2=−2±3iz = \dfrac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i ; z2+4z+13=(z+2−3i)(z+2+3i)z^2 + 4z + 13 = (z + 2 - 3i)(z + 2 + 3i).
  3. Δ=4−8=−4\Delta = 4 - 8 = -4 : z=2±2i4=12±12iz = \dfrac{2 \pm 2i}{4} = \dfrac12 \pm \dfrac12 i ; 2z2−2z+1=2(z−12−i2)(z−12+i2)2z^2 - 2z + 1 = 2\left(z - \dfrac12 - \dfrac i2\right)\left(z - \dfrac12 + \dfrac i2\right).
  4. Δ=4>0\Delta = 4 > 0 : z=2z = 2 ou z=4z = 4 ; (z−2)(z−4)(z - 2)(z - 4).

Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Résous dans C\mathbb{C} l’équation z2−23 z+4=0z^2 - 2\sqrt3\,z + 4 = 0, puis écris les solutions sous forme exponentielle.
  2. Place leurs images AA et BB dans le plan complexe. Quelle est la nature du triangle OABOAB ?
  3. Résous dans C\mathbb{C} l’équation z4+5z2+4=0z^4 + 5z^2 + 4 = 0 (on posera Z=z2Z = z^2).
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  1. Δ=12−16=−4\Delta = 12 - 16 = -4 : z=3±iz = \sqrt3 \pm i, soit 2eiπ/62e^{i\pi/6} et 2e−iπ/62e^{-i\pi/6}.
  2. OA=OB=2OA = OB = 2 et AB=∣2i∣=2AB = |2i| = 2 : le triangle OABOAB est équilatéral.
  3. Z2+5Z+4=0  ⟺  Z=−1Z^2 + 5Z + 4 = 0 \iff Z = -1 ou Z=−4Z = -4. z2=−1  ⟺  z=±iz^2 = -1 \iff z = \pm i ; z2=−4  ⟺  z=±2iz^2 = -4 \iff z = \pm 2i. Solutions : ii, −i-i, 2i2i, −2i-2i.

2. Une factorisation remarquable

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Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Factorise z3+27z^3 + 27 par z+3z + 3 (on écrira z3+27=z3−(−3)3z^3 + 27 = z^3 - (-3)^3).
  2. En déduire les solutions dans C\mathbb{C} de z3=−27z^3 = -27.
  3. Montre que pour tous entiers aa et bb, a−ba - b divise a5−b5a^5 - b^5. En déduire que 75−257^5 - 2^5 est divisible par 55.
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  1. z3−(−3)3=(z+3)(z2−3z+9)z^3 - (-3)^3 = (z + 3)\left(z^2 - 3z + 9\right).
  2. z=−3z = -3 ou z2−3z+9=0z^2 - 3z + 9 = 0 (Δ=9−36=−27\Delta = 9 - 36 = -27) : z=3±3i32z = \dfrac{3 \pm 3i\sqrt3}{2}. Trois solutions : −3-3, 32+332i\dfrac32 + \dfrac{3\sqrt3}{2}i, 32−332i\dfrac32 - \dfrac{3\sqrt3}{2}i.
  3. a5−b5=(a−b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4)a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) et le second facteur est entier. Avec a=7a = 7, b=2b = 2 : 5∣75−255 \mid 7^5 - 2^5.

3. Racine d’un polynôme et factorisation

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Exercice 4 — ⭐⭐

Soit P(z)=z3+z2−2P(z) = z^3 + z^2 - 2.

  1. Vérifie que 11 est une racine de PP.
  2. Détermine les réels bb et cc tels que P(z)=(z−1)(z2+bz+c)P(z) = (z - 1)(z^2 + bz + c).
  3. Résous P(z)=0P(z) = 0 dans C\mathbb{C}.
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  1. P(1)=1+1−2=0P(1) = 1 + 1 - 2 = 0.
  2. (z−1)(z2+bz+c)=z3+(b−1)z2+(c−b)z−c(z - 1)(z^2 + bz + c) = z^3 + (b - 1)z^2 + (c - b)z - c. Par identification : b−1=1b - 1 = 1, c−b=0c - b = 0, −c=−2-c = -2 : b=2b = 2, c=2c = 2.
  3. z=1z = 1 ou z2+2z+2=0z^2 + 2z + 2 = 0 (Δ=−4\Delta = -4) : z=−1±iz = -1 \pm i. Solutions : 11, −1+i-1 + i, −1−i-1 - i.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Soit P(z)=z3−(2+i)z2+(2+2i)z−2iP(z) = z^3 - (2 + i)z^2 + (2 + 2i)z - 2i.

  1. Calcule P(i)P(i).
  2. Détermine les nombres complexes bb et cc tels que P(z)=(z−i)(z2+bz+c)P(z) = (z - i)(z^2 + bz + c).
  3. Résous P(z)=0P(z) = 0 dans C\mathbb{C}.
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  1. i3−(2+i)i2+(2+2i)i−2i=−i+2+i+2i−2−2i=0i^3 - (2 + i)i^2 + (2 + 2i)i - 2i = -i + 2 + i + 2i - 2 - 2i = 0.
  2. (z−i)(z2+bz+c)=z3+(b−i)z2+(c−ib)z−ic(z - i)(z^2 + bz + c) = z^3 + (b - i)z^2 + (c - ib)z - ic. Identification : b−i=−(2+i)b - i = -(2 + i) donc b=−2b = -2 ; −ic=−2i-ic = -2i donc c=2c = 2 ; vérification : c−ib=2+2ic - ib = 2 + 2i. ✓
  3. z=iz = i ou z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0 (Δ=−4\Delta = -4) : z=1±iz = 1 \pm i. Solutions : ii, 1+i1 + i, 1−i1 - i.

4. Nombre de racines d’un polynôme

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Exercice 6 — ⭐⭐

  1. Un polynôme PP de degré 33 vérifie P(0)=P(1)=P(2)=P(3)=0P(0) = P(1) = P(2) = P(3) = 0. Que peut-on en conclure ?
  2. Soit PP un polynôme de degré au plus 22 tel que P(1)=3P(1) = 3, P(2)=3P(2) = 3 et P(5)=3P(5) = 3. Montre que PP est constant.
  3. Montre que si z0z_0 est une racine d’un polynôme à coefficients réels, alors z0‾\overline{z_0} en est aussi une.
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  1. C’est impossible : un polynôme de degré 33 a au plus 33 racines. (Un tel PP ne peut être que le polynôme nul, qui n’est pas de degré 33.)
  2. P(z)−3P(z) - 3 est de degré au plus 22 et s’annule en 33 valeurs distinctes : c’est le polynôme nul, donc P(z)=3P(z) = 3 pour tout zz.
  3. P(z0)=∑akz0k=0P(z_0) = \sum a_kz_0^k = 0 avec des aka_k réels. En conjuguant : P(z0)‾=∑ak‾ z0‾ k=∑akz0‾ k=P(z0‾)=0‾=0\overline{P(z_0)} = \sum \overline{a_k}\,\overline{z_0}^{\,k} = \sum a_k\overline{z_0}^{\,k} = P(\overline{z_0}) = \overline 0 = 0.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On considère P(z)=z4−4z3+9z2−10z+6P(z) = z^4 - 4z^3 + 9z^2 - 10z + 6.

  1. Vérifie que 1+i1 + i est une racine de PP. En déduire, sans calcul, une autre racine.
  2. Montre que P(z)=(z2−2z+2)Q(z)P(z) = (z^2 - 2z + 2)Q(z) où QQ est un polynôme de degré 22 à déterminer.
  3. Résous P(z)=0P(z) = 0.
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  1. (1+i)2=2i(1 + i)^2 = 2i, (1+i)3=2i(1+i)=−2+2i(1 + i)^3 = 2i(1 + i) = -2 + 2i, (1+i)4=−4(1 + i)^4 = -4. P(1+i)=−4−4(−2+2i)+9(2i)−10(1+i)+6=−4+8−8i+18i−10−10i+6=0P(1 + i) = -4 - 4(-2 + 2i) + 9(2i) - 10(1 + i) + 6 = -4 + 8 - 8i + 18i - 10 - 10i + 6 = 0. PP est à coefficients réels : 1−i1 - i est aussi racine (exercice 6).
  2. (z−1−i)(z−1+i)=z2−2z+2(z - 1 - i)(z - 1 + i) = z^2 - 2z + 2 divise PP. On cherche Q(z)=z2+bz+cQ(z) = z^2 + bz + c : (z2−2z+2)(z2+bz+c)=z4+(b−2)z3+(c−2b+2)z2+(2b−2c)z+2c(z^2 - 2z + 2)(z^2 + bz + c) = z^4 + (b - 2)z^3 + (c - 2b + 2)z^2 + (2b - 2c)z + 2c. Identification : b−2=−4b - 2 = -4 (b=−2b = -2), 2c=62c = 6 (c=3c = 3) ; vérifications : c−2b+2=9c - 2b + 2 = 9 ✓, 2b−2c=−102b - 2c = -10 ✓. Q(z)=z2−2z+3Q(z) = z^2 - 2z + 3.
  3. Q(z)=0Q(z) = 0 : Δ=4−12=−8\Delta = 4 - 12 = -8, z=1±i2z = 1 \pm i\sqrt2. Solutions : 1+i1 + i, 1−i1 - i, 1+i21 + i\sqrt2, 1−i21 - i\sqrt2.