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Dérivation, fonctions composées simples et convexité — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

Dérive $x \mapsto e^{5x}$ .
Dérive $x \mapsto (1 - x)^3$ .
Dérive $x \mapsto (x^2 + 1)^2$ .
Dérive $x \mapsto e^{x^2}$ .
Dérivée seconde de $x \mapsto x^4$ ?
$f''(x) = -3$ pour tout $x$ : $f$ est-elle convexe ou concave ?
Une fonction convexe : sa courbe est-elle au-dessus ou en dessous de ses tangentes ?
$f''(x) = x - 2$ : abscisse du point d'inflexion ?

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$5e^{5x}$ .
$-3(1 - x)^2$ .
$2(x^2 + 1) \times 2x = 4x(x^2 + 1)$ .
$2xe^{x^2}$ .
$12x^2$ .
Concave.
Au-dessus.
$x = 2$ .

Exercice 2 (8 points) — Étude d'une fonction

Soit $f(x) = (2x - 1)e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ .

Montre que $f'(x) = (3 - 2x)e^{-x}$ . (2 points)
Dresse le tableau de variations de $f$ (sans les limites). (2 points)
Montre que $f''(x) = (2x - 5)e^{-x}$ . (2 points)
Étudie la convexité de $f$ et donne les coordonnées du point d'inflexion. (2 points)

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$f'(x) = 2e^{-x} + (2x - 1)(-e^{-x}) = (2 - 2x + 1)e^{-x} = (3 - 2x)e^{-x}$ .
$e^{-x} > 0$ : $f'$ est du signe de $3 - 2x$ . $f$ croît sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac32\right]$ et décroît sur $\left[\dfrac32\,;\,+\infty\right[$ ; maximum $f\left(\dfrac32\right) = 2e^{-3/2} \approx 0{,}446$ .
$f''(x) = -2e^{-x} + (3 - 2x)(-e^{-x}) = (-2 - 3 + 2x)e^{-x} = (2x - 5)e^{-x}$ .
$f''$ est du signe de $2x - 5$ : $f$ est concave sur $\left]-\infty\,;\,\dfrac52\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac52\,;\,+\infty\right[$ . Point d'inflexion : $\left(\dfrac52\,;\,4e^{-5/2}\right)$ , soit environ $(2{,}5\,;\,0{,}328)$ .

Exercice 3 (8 points) — Production de lait

La quantité de lait produite par une vache (en litres par jour) est modélisée, $t$ semaines après le vêlage, par $L(t) = 10te^{-0{,}1t}$ pour $t \in [0\,;\,40]$ .

Montre que $L'(t) = (10 - t)e^{-0{,}1t}$ . En déduire les variations de $L$ et la production maximale. (3 points)
On admet que $L''(t) = (0{,}1t - 2)e^{-0{,}1t}$ . Étudie la convexité de $L$ sur $[0\,;\,40]$ . (2 points)
Détermine le point d'inflexion et interprète-le. (2 points)
Quelle est la production au bout de $40$ semaines (arrondie au dixième) ? (1 point)

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$L'(t) = 10e^{-0{,}1t} + 10t(-0{,}1)e^{-0{,}1t} = (10 - t)e^{-0{,}1t}$ , du signe de $10 - t$ . $L$ croît sur $[0\,;\,10]$ et décroît sur $[10\,;\,40]$ . Production maximale : $L(10) = 100e^{-1} \approx 36{,}8$ litres par jour, $10$ semaines après le vêlage.
$L''$ est du signe de $0{,}1t - 2$ : $L$ est concave sur $[0\,;\,20]$ et convexe sur $[20\,;\,40]$ .
Point d'inflexion en $t = 20$ : $L(20) = 200e^{-2} \approx 27{,}1$ L. C'est le moment où la production diminue le plus vite ; ensuite, la baisse ralentit.
$L(40) = 400e^{-4} \approx 7{,}3$ litres par jour.