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Terminale

Dérivation, fonctions composées simples et convexité — Exercices d'application

1. Rappels et composée avec une fonction affine

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Exercice 1 — ⭐

Dérive les fonctions suivantes.

  1. f(x)=(3x−2)5f(x) = (3x - 2)^5
  2. g(x)=e4−2xg(x) = e^{4 - 2x}
  3. h(x)=2x+6h(x) = \sqrt{2x + 6} (sur ]−3 ; +∞[]-3\,;\,+\infty[)
  4. k(t)=100e−0,03tk(t) = 100e^{-0{,}03t}
  5. m(x)=15x+1m(x) = \dfrac{1}{5x + 1} (sur ]−15 ; +∞[\left]-\dfrac15\,;\,+\infty\right[)
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  1. f′(x)=3×5(3x−2)4=15(3x−2)4f'(x) = 3 \times 5(3x - 2)^4 = 15(3x - 2)^4.
  2. g′(x)=−2e4−2xg'(x) = -2e^{4 - 2x}.
  3. h′(x)=2×122x+6=12x+6h'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{2x + 6}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 6}}.
  4. k′(t)=100×(−0,03)e−0,03t=−3e−0,03tk'(t) = 100 \times (-0{,}03)e^{-0{,}03t} = -3e^{-0{,}03t}.
  5. m′(x)=5×(−1(5x+1)2)=−5(5x+1)2m'(x) = 5 \times \left(-\dfrac{1}{(5x + 1)^2}\right) = -\dfrac{5}{(5x + 1)^2}.

2. Dérivée de exp(u) et de u au carré

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Exercice 2 — ⭐⭐

  1. Dérive f(x)=ex2−4xf(x) = e^{x^2 - 4x} et étudie ses variations sur R\mathbb{R}.
  2. Dérive g(x)=(ex−2)2g(x) = (e^x - 2)^2 et détermine où g′g' s’annule.
  3. Dérive h(x)=xe−x2h(x) = xe^{-x^2}.
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  1. f′(x)=(2x−4)ex2−4xf'(x) = (2x - 4)e^{x^2 - 4x}, du signe de 2x−42x - 4 : ff décroît sur ]−∞ ; 2]]-\infty\,;\,2], croît sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[ ; minimum f(2)=e−4f(2) = e^{-4}.
  2. g′(x)=2(ex−2)exg'(x) = 2(e^x - 2)e^x ; ex>0e^x > 0, donc g′(x)=0  ⟺  ex=2  ⟺  x=ln⁡2g'(x) = 0 \iff e^x = 2 \iff x = \ln 2 (voir le chapitre sur le logarithme ; x≈0,69x \approx 0{,}69).
  3. h′(x)=e−x2+x×(−2x)e−x2=(1−2x2)e−x2h'(x) = e^{-x^2} + x \times (-2x)e^{-x^2} = (1 - 2x^2)e^{-x^2}.

3. Étudier une fonction, optimiser

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Exercice 3 — ⭐⭐⭐

Une entreprise estime que son bénéfice (en milliers d’euros) pour xx centaines d’objets vendus (0⩽x⩽100 \leqslant x \leqslant 10) est B(x)=(x−1)e−0,25x+2−5B(x) = (x - 1)e^{-0{,}25x + 2} - 5.

  1. Montre que B′(x)=(1,25−0,25x)e−0,25x+2B'(x) = (1{,}25 - 0{,}25x)e^{-0{,}25x + 2}.
  2. Dresse le tableau de variations de BB sur [0 ; 10][0\,;\,10].
  3. Combien d’objets faut-il vendre pour maximiser le bénéfice ? Quel est ce bénéfice maximal (arrondi à l’euro) ?
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  1. B′(x)=1×e−0,25x+2+(x−1)(−0,25)e−0,25x+2=(1−0,25x+0,25)e−0,25x+2=(1,25−0,25x)e−0,25x+2B'(x) = 1 \times e^{-0{,}25x + 2} + (x - 1)(-0{,}25)e^{-0{,}25x + 2} = (1 - 0{,}25x + 0{,}25)e^{-0{,}25x + 2} = (1{,}25 - 0{,}25x)e^{-0{,}25x + 2}.
  2. B′(x)B'(x) est du signe de 1,25−0,25x1{,}25 - 0{,}25x : positif pour x<5x < 5, négatif pour x>5x > 5. BB croît sur [0 ; 5][0\,;\,5] et décroît sur [5 ; 10][5\,;\,10]. B(0)=−e2−5≈−12,39B(0) = -e^2 - 5 \approx -12{,}39 ; B(5)=4e0,75−5≈3,468B(5) = 4e^{0{,}75} - 5 \approx 3{,}468 ; B(10)=9e−0,5−5≈0,459B(10) = 9e^{-0{,}5} - 5 \approx 0{,}459.
  3. 500500 objets ; bénéfice maximal ≈3,468\approx 3{,}468 milliers d’euros, soit environ 3 4683\,468 €.

4. Convexité

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Exercice 4 — ⭐⭐

Étudie la convexité des fonctions suivantes.

  1. f(x)=x3−6x2+5f(x) = x^3 - 6x^2 + 5 sur R\mathbb{R}
  2. g(x)=e−xg(x) = e^{-x} sur R\mathbb{R}
  3. h(x)=1xh(x) = \dfrac1x sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[
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  1. f′′(x)=6x−12f''(x) = 6x - 12 : ff concave sur ]−∞ ; 2]]-\infty\,;\,2], convexe sur [2 ; +∞[[2\,;\,+\infty[ (point d’inflexion en x=2x = 2).
  2. g′′(x)=e−x>0g''(x) = e^{-x} > 0 : convexe sur R\mathbb{R}.
  3. h′(x)=−1x2h'(x) = -\dfrac{1}{x^2}, h′′(x)=2x3>0h''(x) = \dfrac{2}{x^3} > 0 sur ]0 ; +∞[]0\,;\,+\infty[ : convexe.

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

  1. Détermine l’équation de la tangente à la courbe de exp⁡\exp au point d’abscisse 11.
  2. En utilisant la convexité de exp⁡\exp, montre que pour tout réel xx, ex⩾exe^x \geqslant ex.
  3. En déduire que eπ⩾πee^{\pi} \geqslant \pi e.
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  1. y=e1(x−1)+e1=exy = e^1(x - 1) + e^1 = ex.
  2. exp⁡\exp est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier de y=exy = ex : ex⩾exe^x \geqslant ex.
  3. Avec x=πx = \pi : eπ⩾eπe^\pi \geqslant e\pi.

5. Points d’inflexion

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Exercice 6 — ⭐⭐

Soit f(x)=e−x2/2f(x) = e^{-x^2/2} (courbe « en cloche »).

  1. Montre que f′(x)=−xe−x2/2f'(x) = -xe^{-x^2/2} et f′′(x)=(x2−1)e−x2/2f''(x) = (x^2 - 1)e^{-x^2/2}.
  2. Étudie la convexité de ff et détermine ses points d’inflexion.
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  1. (eu)′=u′eu(e^u)' = u'e^u avec u=−x22u = -\dfrac{x^2}{2}, u′=−xu' = -x. Puis f′′(x)=−e−x2/2+(−x)(−x)e−x2/2=(x2−1)e−x2/2f''(x) = -e^{-x^2/2} + (-x)(-x)e^{-x^2/2} = (x^2 - 1)e^{-x^2/2}.
  2. f′′f'' est du signe de x2−1x^2 - 1 : ff est convexe sur ]−∞ ; −1]]-\infty\,;\,-1] et sur [1 ; +∞[[1\,;\,+\infty[, concave sur [−1 ; 1][-1\,;\,1]. Points d’inflexion : (−1 ; e−1/2)\left(-1\,;\,e^{-1/2}\right) et (1 ; e−1/2)\left(1\,;\,e^{-1/2}\right).

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Diffusion d’une application. Le nombre d’utilisateurs (en millions) tt mois après le lancement est modélisé par N(t)=101+9e−0,5tN(t) = \dfrac{10}{1 + 9e^{-0{,}5t}}. On admet que N′′N'' s’annule en changeant de signe une seule fois, pour t0=2ln⁡9≈4,39t_0 = 2\ln 9 \approx 4{,}39.

  1. Calcule N(0)N(0) et la limite de NN en +∞+\infty. Interprète.
  2. Calcule N(t0)N(t_0) (on remarquera que e−0,5t0=19e^{-0{,}5t_0} = \dfrac19).
  3. Interprète le point d’inflexion pour l’entreprise.
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  1. N(0)=1010=1N(0) = \dfrac{10}{10} = 1 million au lancement ; e−0,5t→0e^{-0{,}5t} \to 0 donc N(t)→10N(t) \to 10 : le nombre d’utilisateurs plafonne à 1010 millions.
  2. N(t0)=101+9×19=5N(t_0) = \dfrac{10}{1 + 9 \times \frac19} = 5 millions.
  3. Jusqu’à environ 4,44{,}4 mois, la croissance accélère ; ensuite, elle ralentit. C’est le moment où l’application gagne des utilisateurs le plus vite, quand la moitié du plafond est atteinte.