Terminale⏱ 3 semaines

Dérivation, fonctions composées simples et convexité

Ce que tu vas apprendre

Dériver x ↦ f(ax + b), x ↦ e^(u(x)) et x ↦ u(x)²
Dresser un tableau de variations et résoudre un problème d'optimisation
Calculer une dérivée seconde
Reconnaître graphiquement une fonction convexe, concave, un point d'inflexion
Étudier la convexité d'une fonction deux fois dérivable
Interpréter un point d'inflexion dans un modèle (accélération, ralentissement)

Notions clés(f(ax + b))' = a f'(ax + b)(e^u)' = u' e^u(u²)' = 2u u'dérivée seconde f''convexe, concavepoint d'inflexion

Ce que tu sais déjà. En Première, tu as calculé des dérivées (somme, produit, quotient, exponentielle) et étudié des variations (Première — Fonction dérivée, Première — Dérivation et variations). On complète ces outils puis on étudie la forme d’une courbe : est-elle « tournée vers le haut » ou « vers le bas » ? Thèmes d’étude associés : « Modèles définis par une fonction d’une variable », « Répartition des richesses, inégalités ».

1. Rappels et composée avec une fonction affine

Dérivées usuelles.

$f(x)$	$k$	$x^n$ ( $n \geqslant 1$ )	$\dfrac1x$	$\sqrt x$	$e^x$
$f'(x)$	$0$	$nx^{n-1}$	$-\dfrac{1}{x^2}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$e^x$

Opérations : $(u + v)' = u' + v'$ ; $(ku)' = ku'$ ; $(uv)' = u'v + uv'$ ; $\left(\dfrac uv\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Propriété. Si $g(x) = f(ax + b)$ , alors $g'(x) = a\,f'(ax + b)$ .

Exemples. $(e^{3x - 1})' = 3e^{3x - 1}$ ; $\left((2x + 5)^4\right)' = 2 \times 4(2x + 5)^3 = 8(2x + 5)^3$ ; $\left(\sqrt{1 - x}\right)' = \dfrac{-1}{2\sqrt{1 - x}}$ ; $(e^{-0{,}5t})' = -0{,}5e^{-0{,}5t}$ .

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Dérivée de exp(u) et de u au carré

Propriétés. Si $u$ est dérivable sur un intervalle $I$ : $\left(e^{u}\right)' = u'e^{u} \qquad\text{et}\qquad \left(u^2\right)' = 2uu'.$

Justification de la seconde. $u^2 = u \times u$ , donc $(u^2)' = u'u + uu' = 2uu'$ .

Exemples.

$f(x) = e^{-x^2}$ : $f'(x) = -2xe^{-x^2}$ .

$g(x) = (x^2 - 3x)^2$ : $g'(x) = 2(x^2 - 3x)(2x - 3)$ .

$h(t) = 5e^{0{,}2t^2}$ : $h'(t) = 5 \times 0{,}4t\,e^{0{,}2t^2} = 2te^{0{,}2t^2}$ .

Remarque. $e^u > 0$ : le signe de $\left(e^u\right)'$ est celui de $u'$ .

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Étudier une fonction, optimiser

📋 Méthode — Étude complète

Ensemble de définition ; limites aux bornes si besoin.
Dérivée, puis signe de la dérivée (factoriser ; utiliser $e^u > 0$ ).
Tableau de variations avec les valeurs aux points où $f'$ s’annule.
Conclure : extremum, nombre de solutions d’une équation, réponse au problème posé.

Exemple (concentration d’un médicament). $C(t) = 20te^{-0{,}5t}$ (en mg/L, $t$ en heures, $t \geqslant 0$ ). $C'(t) = 20e^{-0{,}5t} + 20t \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = (20 - 10t)e^{-0{,}5t}$ , du signe de $20 - 10t$ . $C$ croît sur $[0\,;\,2]$ puis décroît : la concentration est maximale au bout de $2$ heures, et vaut $C(2) = 40e^{-1} \approx 14{,}7$ mg/L.

→ S’entraîner : Exercice 3

4. Convexité

Définitions.

Une fonction $f$ est convexe sur un intervalle $I$ si sa courbe est en dessous de chacune de ses cordes (segments reliant deux points de la courbe) sur $I$ .
$f$ est concave si sa courbe est au-dessus de ses cordes.

À gauche, x ↦ x² est convexe : la courbe est sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. À droite, x ↦ √x est concave.

Dérivée seconde. Si $f'$ est elle-même dérivable, sa dérivée est la dérivée seconde $f''$ .

Caractérisation (admise). Pour $f$ deux fois dérivable sur $I$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

$f$ est convexe sur $I$ ;
$f'$ est croissante sur $I$ ;
$f''(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ ;
la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes.

(Et symétriquement : concave $\iff$ $f'$ décroissante $\iff$ $f'' \leqslant 0$ $\iff$ courbe sous ses tangentes.)

Exemples. $x \mapsto x^2$ ( $f'' = 2 > 0$ ) et $\exp$ ( $f'' = e^x > 0$ ) sont convexes sur $\mathbb{R}$ ; $\sqrt{\ }$ est concave sur $]0\,;\,+\infty[$ ( $f''(x) = -\dfrac{1}{4x\sqrt x} < 0$ ) ; $x \mapsto x^3$ est concave sur $]-\infty\,;\,0]$ et convexe sur $[0\,;\,+\infty[$ .

Application : inégalités. $\exp$ est convexe, donc sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ , d’équation $y = x + 1$ : pour tout réel $x$ , $e^x \geqslant x + 1$ .

→ S’entraîner : Exercice 4 · Exercice 5

5. Points d’inflexion

Définition. Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la fonction change de convexité (de convexe à concave, ou l’inverse).

Propriété. Si $f''$ s’annule en changeant de signe en $a$ , le point d’abscisse $a$ est un point d’inflexion.

Exemple. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ : $f'(x) = 3x^2 - 6x$ , $f''(x) = 6x - 6$ , qui s’annule en changeant de signe en $1$ . $f$ est concave sur $]-\infty\,;\,1]$ , convexe sur $[1\,;\,+\infty[$ ; le point $(1\,;\,0)$ est un point d’inflexion.

La courbe de x³ − 3x² + 2 traverse sa tangente au point d'inflexion I(1 ; 0) : elle passe de concave à convexe.

Interprétation dans un modèle. Si $f$ décrit une grandeur au cours du temps, $f'$ est sa vitesse d’évolution. Au point d’inflexion, $f'$ atteint un extremum : la croissance cesse d’accélérer et commence à ralentir (ou l’inverse). C’est le « pic » des nouvelles contaminations dans une épidémie, ou le moment où une innovation se diffuse le plus vite.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7

À retenir.

$(f(ax + b))' = af'(ax + b)$ ; $(e^u)' = u'e^u$ ; $(u^2)' = 2uu'$ .
Étude : dérivée, signe, tableau de variations, conclusion.
Convexe $\iff$ $f'' \geqslant 0$ $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ courbe sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes.
Point d’inflexion : $f''$ s’annule en changeant de signe ; la croissance passe de l’accélération au ralentissement (ou l’inverse).