Terminale

Vecteurs, droites et plans de l'espace — Exercices d'application

1. Vecteurs de l’espace

Exercice 1 — ⭐

$ABCDEFGH$ est un cube (face $ABCD$ en bas, $E$ au-dessus de $A$ , $F$ au-dessus de $B$ …). Écris chaque somme sous la forme d’un seul vecteur ayant pour origine et extrémité des sommets du cube.

$\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{GH}$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CG} + \overrightarrow{HE}$
$\overrightarrow{EF} + \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AE}$

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$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EF}$ , donc $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF}$ .
$\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{FE}$ , donc $\overrightarrow{BF} + \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{BE}$ .
$\overrightarrow{HE} = \overrightarrow{DA}$ et $\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{BF}$ . En changeant l’ordre des termes : $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{DF}$ .
$\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{HE}$ et $-\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{EA} = \overrightarrow{FB}$ . Donc la somme vaut $\overrightarrow{HE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FB} = \overrightarrow{HB}$ .

Méthode : on remplace chaque vecteur par un vecteur égal choisi pour que l’extrémité de l’un soit l’origine du suivant, puis on applique Chasles.

Exercice 2 — ⭐⭐

$ABCD$ est un tétraèdre, $I$ le milieu de $[AB]$ et $J$ le milieu de $[CD]$ .

Justifie que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DJ}$ et que $\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CJ}$ .
En additionnant ces deux égalités, montre que $\overrightarrow{IJ} = \dfrac12\left(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\right)$ .

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Relation de Chasles, en passant par $A$ et $D$ , puis par $B$ et $C$ .
$2\overrightarrow{IJ} = \left(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}\right) + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC} + \left(\overrightarrow{DJ} + \overrightarrow{CJ}\right)$ . Comme $I$ est le milieu de $[AB]$ , $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec 0$ ; comme $J$ est le milieu de $[CD]$ , $\overrightarrow{DJ} + \overrightarrow{CJ} = \vec 0$ . Donc $\overrightarrow{IJ} = \dfrac12\left(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}\right)$ .

2. Droites de l’espace

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Exercice 3 — ⭐⭐

Dans un repère de l’espace, on donne $A(1\,;\,2\,;\,-1)$ , $B(3\,;\,0\,;\,1)$ , $C(-1\,;\,4\,;\,-3)$ et $D(2\,;\,2\,;\,0)$ .

Les points $A$ , $B$ , $C$ sont-ils alignés ?
Les points $A$ , $B$ , $D$ sont-ils alignés ?
La droite $d$ passe par $A$ et a pour vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}$ . Les points $M(5\,;\,0\,;\,1)$ et $N(3\,;\,1\,;\,1)$ appartiennent-ils à $d$ ?

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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\-2\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\2\\-2\end{pmatrix} = -\overrightarrow{AB}$ : colinéaires, les points sont alignés ( $A$ est le milieu de $[BC]$ ).
$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ : si $\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{AB}$ , la deuxième coordonnée donne $0 = -2k$ , donc $k = 0$ , mais alors la première donnerait $1 = 0$ . Pas colinéaires : $A$ , $B$ , $D$ ne sont pas alignés.
$\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}4\\-2\\2\end{pmatrix} = 2\vec u$ : $M \in d$ . $\overrightarrow{AN}\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ : $2 = 2t$ donne $t = 1$ , mais alors la troisième coordonnée serait $1 \neq 2$ . $N \notin d$ .

3. Plans de l’espace et vecteurs coplanaires

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Exercice 4 — ⭐⭐

Les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ , $\vec w\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}$ sont-ils coplanaires ?
Même question avec $\vec w'\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ à la place de $\vec w$ .

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$\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires. $\vec w = a\vec u + b\vec v$ donne $a = 3$ , $2a + b = 4$ , $b = -2$ . Avec $a = 3$ et $b = -2$ : $2 \times 3 - 2 = 4$ . ✓ Donc $\vec w = 3\vec u - 2\vec v$ : coplanaires.
$a = 1$ , $b = 1$ , et la deuxième équation donne $2a + b = 3 \neq 1$ . Pas coplanaires.

4. Positions relatives de droites et de plans

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Exercice 5 — ⭐⭐

Dans le cube $ABCDEFGH$ , précise la position relative (justifie brièvement) :

des droites $(AB)$ et $(HG)$ ;
des droites $(AG)$ et $(EC)$ ;
des droites $(AD)$ et $(FG)$ puis $(AD)$ et $(BF)$ ;
de la droite $(EG)$ et du plan $(ABC)$ ;
des plans $(ABF)$ et $(DCG)$ ; des plans $(ABF)$ et $(BCG)$ .

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$\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AB}$ : parallèles.
Ce sont les diagonales du rectangle $ACGE$ : coplanaires et sécantes (au centre du cube).
$\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ : $(AD)$ et $(FG)$ sont parallèles. $(AD)$ et $(BF)$ ne sont ni parallèles ni sécantes : non coplanaires.
$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC}$ , qui dirige le plan $(ABC)$ , et $E$ n’est pas dans ce plan : $(EG)$ est strictement parallèle à $(ABC)$ .
$(ABF)$ et $(DCG)$ sont deux faces opposées : strictement parallèles. $(ABF)$ et $(BCG)$ sont deux faces adjacentes : sécantes selon la droite $(BF)$ .

5. Bases, repères et coordonnées

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Exercice 6 — ⭐⭐

$ABCDEFGH$ est un cube. On se place dans le repère $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ .

Donne les coordonnées des huit sommets.
$I$ est le milieu de $[EF]$ et $J$ le centre de la face $BCGF$ . Donne leurs coordonnées, puis celles de $\overrightarrow{IJ}$ .
Les droites $(IJ)$ et $(EC)$ sont-elles parallèles ?

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$A(0;0;0)$ , $B(1;0;0)$ , $C(1;1;0)$ , $D(0;1;0)$ , $E(0;0;1)$ , $F(1;0;1)$ , $G(1;1;1)$ , $H(0;1;1)$ .
$I\left(\dfrac12\,;\,0\,;\,1\right)$ ; $J$ milieu de $[BG]$ : $J\left(1\,;\,\dfrac12\,;\,\dfrac12\right)$ . $\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}1/2\\1/2\\-1/2\end{pmatrix}$ .
$\overrightarrow{EC}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = 2\overrightarrow{IJ}$ : les vecteurs sont colinéaires, donc $(IJ)$ est parallèle à $(EC)$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

On reprend le cube et le repère de l’exercice 6.

Les points $D$ , $B$ , $G$ , $E$ sont-ils coplanaires ?
Soit $K$ le point tel que $\overrightarrow{AK} = \dfrac13\overrightarrow{AG}$ . Montre que $K$ appartient au plan $(BDE)$ .

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$\overrightarrow{DB}\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{DG}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ (non colinéaires), $\overrightarrow{DE}\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}$ . Si $\overrightarrow{DE} = a\overrightarrow{DB} + b\overrightarrow{DG}$ : $-a = -1$ et $b = 1$ , donc $a = 1$ , $b = 1$ ; mais la première coordonnée donnerait $a + b = 2 \neq 0$ . Les points ne sont pas coplanaires.
$K\left(\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac13\right)$ . $\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\1/3\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ . On cherche $\overrightarrow{BK} = a\overrightarrow{BD} + b\overrightarrow{BE}$ : $a = \dfrac13$ (2ᵉ coordonnée), $b = \dfrac13$ (3ᵉ), et $-a - b = -\dfrac23$ ✓. Donc $K \in (BDE)$ : la grande diagonale $[AG]$ perce le plan $(BDE)$ au tiers de sa longueur.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Dans un repère, on donne $A(2\,;\,0\,;\,1)$ , $B(0\,;\,1\,;\,3)$ , $C(1\,;\,2\,;\,0)$ et $D(4\,;\,-1\,;\,-1)$ .

Montre que $A$ , $B$ , $C$ définissent un plan.
Détermine les réels $a$ et $b$ tels que $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$ , s’ils existent. Conclus.

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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\1\\2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires ( $\frac{-2}{-1} = 2$ mais $\frac12 \neq 2$ ) : $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés.
$\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}2\\-1\\-2\end{pmatrix}$ . Système : $-2a - b = 2$ , $a + 2b = -1$ , $2a - b = -2$ . Les deux premières donnent (en multipliant la deuxième par $2$ et en ajoutant) $3b = 0$ , donc $b = 0$ et $a = -1$ . Troisième : $2 \times (-1) - 0 = -2$ ✓. $\overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{AB}$ : $D$ est dans le plan $(ABC)$ (et même sur la droite $(AB)$ ).