Vecteurs, droites et plans de l'espace

Ce que tu sais déjà. Dans le plan, tu sais additionner des vecteurs (relation de Chasles), les multiplier par un réel, reconnaître des vecteurs colinéaires avec le déterminant, et utiliser des coordonnées (Seconde — Vecteurs, Seconde — Vecteurs et coordonnées). Tu connais les solides usuels (cube, pavé, pyramide) et leurs représentations en perspective cavalière (collège). Tout cela se prolonge dans l’espace, avec une dimension de plus.

1. Vecteurs de l’espace

Définition. Comme dans le plan, à tout couple de points $(A\,;\,B)$ de l’espace on associe le vecteur $\overrightarrow{AB}$, qui caractérise la translation qui transforme $A$ en $B$ (même direction, même sens, même longueur).

Toutes les règles de calcul du plan restent valables :

• Relation de Chasles : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Égalité : $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD$ est un parallélogramme (éventuellement aplati).
• Produit par un réel, vecteur nul, opposé : mêmes définitions.

Définition. Une combinaison linéaire des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ est un vecteur de la forme $a\vec u + b\vec v$, où $a$ et $b$ sont des réels (de même avec trois vecteurs ou plus).

Exemples (cube $ABCDEFGH$, face $ABCD$ en bas, $E$ au-dessus de $A$).

• $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$, car $\overrightarrow{FG} = \overrightarrow{BC}$.
• $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$.

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Droites de l’espace

Définition. Deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s’il existe un réel $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur).

Caractérisation d’une droite. Soit $A$ un point et $\vec u$ un vecteur non nul. La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ soient colinéaires : $$M \in d \iff \text{il existe un réel } t \text{ tel que } \overrightarrow{AM} = t\,\vec u.$$

Conséquences.

• Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Plans de l’espace et vecteurs coplanaires

Caractérisation d’un plan. Soit $A$ un point et $\vec u$, $\vec v$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $\mathcal{P}$ passant par $A$ et dirigé par $(\vec u\,;\,\vec v)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $$\overrightarrow{AM} = a\,\vec u + b\,\vec v, \qquad a, b \text{ réels}.$$ Le couple $(\vec u\,;\,\vec v)$ détermine la direction du plan : deux plans dirigés par le même couple sont parallèles.

Exemple. Le plan $(ABC)$ est le plan passant par $A$ et dirigé par $\left(\overrightarrow{AB}\,;\,\overrightarrow{AC}\right)$ (si $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés).

Définition. Trois vecteurs $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires si, en les représentant à partir d’un même point $O$, on obtient quatre points $O$, $U$, $V$, $W$ situés dans un même plan.

Propriété. Si $\vec u$ et $\vec v$ ne sont pas colinéaires, alors $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s’il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec w = a\vec u + b\vec v$.

Conséquence. Quatre points $A$, $B$, $C$, $D$ ($A$, $B$, $C$ non alignés) sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{AD} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$ pour certains réels $a$ et $b$.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Positions relatives de droites et de plans

Deux droites de l’espace sont :

• soit coplanaires : elles sont alors sécantes (un seul point commun) ou parallèles (strictement ou confondues) ;
• soit non coplanaires : aucun plan ne les contient toutes les deux, elles n’ont aucun point commun sans être parallèles. C’est la nouveauté de l’espace.

Une droite et un plan sont soit sécants (un seul point commun), soit parallèles (la droite est contenue dans le plan, ou n’a aucun point commun avec lui). Critère : une droite est parallèle à un plan si et seulement si son vecteur directeur est combinaison linéaire de deux vecteurs directeurs du plan.

Deux plans sont soit parallèles (strictement ou confondus), soit sécants : leur intersection est alors une droite. Critère : deux plans sont parallèles si et seulement si deux vecteurs non colinéaires de l’un dirigent aussi l’autre.

Propriété (théorème du toit, admis). Si deux plans sécants contiennent respectivement deux droites parallèles, alors leur droite d’intersection est parallèle à ces deux droites.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Bases, repères et coordonnées

Définition. Trois vecteurs $\vec\imath$, $\vec\jmath$, $\vec k$ non coplanaires forment une base de l’espace. Si $O$ est un point, le quadruplet $(O\,;\,\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ est un repère de l’espace.

Théorème (décomposition dans une base). Si $(\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ est une base, pour tout vecteur $\vec u$ il existe un unique triplet de réels $(x\,;\,y\,;\,z)$ tel que $\vec u = x\vec\imath + y\vec\jmath + z\vec k$. Ce sont les coordonnées de $\vec u$, notées $\vec u\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$. Les coordonnées d’un point $M$ sont celles de $\overrightarrow{OM}$.

Règles de calcul (comme dans le plan, avec une troisième coordonnée) : pour $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$,

• $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \\ z_B - z_A \end{pmatrix}$ ; milieu $I\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\,;\,\dfrac{z_A + z_B}{2}\right)$ ;
• $\vec u + \vec v$ et $k\vec u$ : on additionne, on multiplie coordonnée par coordonnée ;
• $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.

Exemple (cube de côté 1). Dans le repère $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ : $B(1\,;\,0\,;\,0)$, $D(0\,;\,1\,;\,0)$, $E(0\,;\,0\,;\,1)$, $G(1\,;\,1\,;\,1)$. Le centre de la face $EFGH$ est le milieu de $[EG]$ : $\left(\dfrac12\,;\,\dfrac12\,;\,1\right)$.

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

• Chasles, colinéarité, parallélogrammes : comme dans le plan.
• Droite : $M \in d \iff \overrightarrow{AM} = t\vec u$ ; plan : $M \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} = a\vec u + b\vec v$ ($\vec u$, $\vec v$ non colinéaires).
• $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ coplanaires $\iff \vec w = a\vec u + b\vec v$ (si $\vec u$, $\vec v$ non colinéaires).
• Deux droites : coplanaires (sécantes ou parallèles) ou non coplanaires. Deux plans : parallèles ou sécants selon une droite.
• Base = 3 vecteurs non coplanaires ; coordonnées $(x\,;\,y\,;\,z)$ ; mêmes formules que dans le plan.