Terminale⏱ 1 heure

Vecteurs, droites et plans de l'espace — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question). On donne $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(4\,;\,0\,;\,3)$ .

Coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?
Coordonnées du milieu de $[AB]$ ?
Les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}2\\4\\-6\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}$ sont-ils colinéaires ?
Combien de points non alignés faut-il pour définir un plan ?
Deux droites de l'espace sans point commun sont-elles forcément parallèles ?
Que vaut $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA}$ ?
Combien de vecteurs contient une base de l'espace ?
Calcule $2\vec u - \vec v$ pour les vecteurs de la question 3.

Voir le corrigé

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}3\\-2\\0\end{pmatrix}$ .
$\left(\dfrac52\,;\,1\,;\,3\right)$ .
Oui : $\vec u = -2\vec v$ .
Trois.
Non : elles peuvent être non coplanaires.
$\vec 0$ .
Trois (non coplanaires).
$2\vec u - \vec v = \begin{pmatrix}5\\10\\-15\end{pmatrix}$ .

Exercice 2 (4 points) — Dans un cube

$ABCDEFGH$ est un cube (face $ABCD$ en bas, $E$ au-dessus de $A$ ). Écris chaque expression sous la forme d'un seul vecteur dont l'origine et l'extrémité sont des sommets du cube (1 point par question).

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DH}$
$\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{DC}$
$\overrightarrow{EH} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{HG} - \overrightarrow{HE}$

Voir le corrigé

$\overrightarrow{DH} = \overrightarrow{BF}$ : $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \overrightarrow{AF}$ .
$\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{AD}$ : $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$ .
$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG}$ (car $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CG}$ ).
$\overrightarrow{HG} - \overrightarrow{HE} = \overrightarrow{EH} + \overrightarrow{HG} = \overrightarrow{EG}$ .

Exercice 3 (6 points) — Coplanarité

On donne $A(1\,;\,0\,;\,2)$ , $B(2\,;\,1\,;\,0)$ , $C(0\,;\,3\,;\,1)$ , $D(4\,;\,-1\,;\,-1)$ et $E(1\,;\,1\,;\,1)$ .

Montre que $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. (1,5 point)
Montre que $\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ . Que peut-on en déduire pour le point $D$ ? (2 points)
Le point $E$ appartient-il au plan $(ABC)$ ? (2,5 points)

Voir le corrigé

$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\3\\-1\end{pmatrix}$ : si $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}$ , la première coordonnée donne $k = -1$ et la deuxième $k = 3$ : impossible. Les vecteurs ne sont pas colinéaires, les points ne sont pas alignés.
$2\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix}2 + 1\\2 - 3\\-4 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AD}\begin{pmatrix}3\\-1\\-3\end{pmatrix}$ : égalité vérifiée. $\overrightarrow{AD}$ est combinaison linéaire de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , donc $D$ appartient au plan $(ABC)$ .
$\overrightarrow{AE}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}$ . On cherche $a$ , $b$ avec $\overrightarrow{AE} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC}$ : $a - b = 0$ , $a + 3b = 1$ , $-2a - b = -1$ . Les deux premières donnent $a = b = \dfrac14$ ; la troisième donnerait $-\dfrac34 = -1$ : faux. $E$ n'appartient pas au plan $(ABC)$ .

Exercice 4 (6 points) — Positions relatives dans un cube

$ABCDEFGH$ est un cube ; on se place dans le repère $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ .

Donne les coordonnées de $B$ , $D$ , $E$ , $F$ , $G$ , $H$ . (1 point)
Démontre que les droites $(EG)$ et $(BD)$ sont non coplanaires. (2 points)
Montre que $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BG}$ s'écrivent comme combinaisons linéaires de $\overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{AH}$ . (2 points)
En déduire la position relative des plans $(AFH)$ et $(BDG)$ . (1 point)

Voir le corrigé

$B(1;0;0)$ , $D(0;1;0)$ , $E(0;0;1)$ , $F(1;0;1)$ , $G(1;1;1)$ , $H(0;1;1)$ .
$\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires : les droites ne sont pas parallèles. Tous les points de $(EG)$ ont pour cote $z = 1$ (on se déplace selon un vecteur de cote nulle à partir de $E$ ), et tous ceux de $(BD)$ ont $z = 0$ : pas de point commun. Ni parallèles ni sécantes : elles sont non coplanaires.
$\overrightarrow{AF}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$ . $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} = \overrightarrow{AH} - \overrightarrow{AF}$ et $\overrightarrow{BG}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \overrightarrow{AH}$ .
Le plan $(BDG)$ est dirigé par $\overrightarrow{BD}$ et $\overrightarrow{BG}$ (non colinéaires), qui dirigent aussi le plan $(AFH)$ : les plans sont parallèles. De plus $B \notin (AFH)$ ( $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = a\overrightarrow{AF} + b\overrightarrow{AH}$ impose $b = 0$ , $a = 1$ , puis $a + b = 1 \neq 0$ pour la cote) : ils sont strictement parallèles.