Primitives et équations différentielles

Ce que tu sais déjà. Tu sais dériver toutes les fonctions usuelles et les composées (Terminale — Dérivation et convexité), y compris $\ln$ (Terminale — Logarithme). En Première, tu as vu que l’exponentielle est la fonction égale à sa dérivée, et la méthode d’Euler (Première — Fonction exponentielle). On fait maintenant le chemin inverse : retrouver une fonction à partir de sa dérivée.

1. Équation différentielle et primitive

Définition. Une équation différentielle est une égalité liant une fonction inconnue $y$ et ses dérivées. Une solution sur $I$ est une fonction dérivable sur $I$ qui vérifie cette égalité pour tout $x \in I$.

Exemple. La fonction $y(x) = e^{2x} + 3$ est-elle solution de $y' = 2y - 6$ sur $\mathbb{R}$ ? $y'(x) = 2e^{2x}$ et $2y(x) - 6 = 2e^{2x} + 6 - 6 = 2e^{2x}$. Oui.

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F' = f$. Autrement dit, $F$ est une solution de l’équation différentielle $y' = f$.

Exemple. $F(x) = x^3 + 5$ est une primitive de $f(x) = 3x^2$ sur $\mathbb{R}$, car $F'(x) = 3x^2$. $G(x) = x^3 - 2$ en est une autre.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Ensemble des primitives d’une fonction

Théorème (admis ici, justifié dans le chapitre sur l’intégrale). Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.

Propriété. Soit $F$ une primitive de $f$ sur $I$. Les primitives de $f$ sur $I$ sont exactement les fonctions $x \mapsto F(x) + C$, où $C$ est un réel quelconque.

Condition initiale. Pour $x_0 \in I$ et $y_0$ réel, il existe une unique primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0) = y_0$.

Exemple. Primitive de $f(x) = x$ qui vaut $1$ en $2$ : $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + C$ et $F(2) = 2 + C = 1$, donc $C = -1$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Calculer des primitives

Primitives usuelles ($C$ réel quelconque) — on lit le tableau des dérivées « à l’envers ».

Formes composées ($u$ dérivable sur $I$, avec les conditions indiquées) : ce sont les formes $(v' \circ u) \times u'$.

Linéarité. Une primitive de $f + g$ est $F + G$ ; une primitive de $kf$ est $kF$.

Exemples.

• $f(x) = 6x^2 - 4x + 3$ : $F(x) = 2x^3 - 2x^2 + 3x$.
• $g(x) = \dfrac{2x}{x^2 + 1}$ : forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 1 > 0$ : $G(x) = \ln(x^2 + 1)$.
• $h(x) = (3x - 1)^4$ : $u = 3x - 1$, $u' = 3$ ; $h = \dfrac13 \times 3(3x - 1)^4$, donc $H(x) = \dfrac13 \times \dfrac{(3x - 1)^5}{5} = \dfrac{(3x - 1)^5}{15}$.
• $k(x) = e^{-0{,}5x}$ : $K(x) = -2e^{-0{,}5x}$.

Toujours vérifier en dérivant : c’est rapide et ça évite la plupart des erreurs.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4 · Exercice 5

4. L’équation y’ = ay

Théorème. Soit $a$ un réel. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l’équation différentielle $y' = ay$ sont les fonctions $$x \mapsto C\,e^{ax}, \qquad C \in \mathbb{R}.$$

Condition initiale. Pour tous réels $x_0$ et $y_0$, il existe une unique solution telle que $y(x_0) = y_0$.

Exemple. $y' = -3y$ et $y(0) = 2$ : $y(x) = Ce^{-3x}$ avec $y(0) = C = 2$. Solution : $y(x) = 2e^{-3x}$.

→ S’entraîner : Exercice 6

5. Les équations y’ = ay + b et y’ = ay + f

Théorème. Soit $a \neq 0$ et $b$ deux réels. L’équation $y' = ay + b$ admet la solution particulière constante $y_p = -\dfrac{b}{a}$, et ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $$x \mapsto Ce^{ax} - \dfrac{b}{a}, \qquad C \in \mathbb{R}.$$

Justification. Une constante $k$ est solution si $0 = ak + b$, soit $k = -\dfrac ba$. Puis $y$ est solution si et seulement si $(y - y_p)' = y' = ay + b = a(y - y_p) + (ay_p + b) = a(y - y_p)$ : $y - y_p$ est solution de $z' = az$, donc $y - y_p = Ce^{ax}$.

Généralisation : $y' = ay + f$. Si $y_p$ est une solution particulière de $y' = ay + f$ ($f$ fonction donnée), alors les solutions sont les fonctions $y = y_p + Ce^{ax}$ : « solution particulière + solutions de l’équation sans second membre $y' = ay$ ». (Même preuve : $y - y_p$ vérifie $z' = az$.)

Exemple. $2y' + y = 4$, soit $y' = -0{,}5y + 2$. Solution constante : $-\dfrac{2}{-0{,}5} = 4$. Solutions : $y(x) = Ce^{-0{,}5x} + 4$. Avec $y(0) = 1$ : $C + 4 = 1$, $C = -3$, donc $y(x) = 4 - 3e^{-0{,}5x}$.

Exemple ($y' = ay + f$). $(E)$ : $y' = 2y - 2x + 1$. On cherche une solution affine $y_p = \alpha x + \beta$ : $\alpha = 2\alpha x + 2\beta - 2x + 1$ pour tout $x$, d’où $2\alpha - 2 = 0$ et $2\beta + 1 = \alpha$ : $\alpha = 1$, $\beta = 0$. Donc $y_p(x) = x$ et les solutions de $(E)$ sont $y(x) = Ce^{2x} + x$.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

6. Modéliser et approcher : la méthode d’Euler

Modéliser. De nombreux phénomènes vérifient « la vitesse de variation est proportionnelle à l’écart à une valeur d’équilibre » : refroidissement d’un corps (loi de Newton), charge d’un condensateur, concentration d’un médicament perfusé… Cela donne une équation $y' = a(y - L)$, c’est-à-dire $y' = ay - aL$, de solution constante $L$.

Exemple (loi de refroidissement de Newton). Un café à $90\,°$C dans une pièce à $20\,°$C vérifie $T' = -0{,}1(T - 20)$, soit $T' = -0{,}1T + 2$. Solutions : $T(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20$ ; $T(0) = 90$ donne $C = 70$ : $T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}$.

Méthode d’Euler. Quand on ne sait pas résoudre, on approche la solution pas à pas : avec un pas $h$ petit, $y(t + h) \approx y(t) + h\,y'(t)$ (approximation affine).

def euler(t_fin, h):
    """Approche T(t_fin) pour T' = -0.1 (T - 20), T(0) = 90, avec un pas h."""
    t, T = 0, 90
    while t < t_fin - 1e-9:
        T = T + h * (-0.1 * (T - 20))
        t = t + h
    return T

print(euler(10, 1))      # 44.40...
print(euler(10, 0.1))    # 45.62...  (valeur exacte : 20 + 70 e^(-1) ≈ 45.75)

→ S’entraîner : Exercice 9

À retenir.

• $F$ primitive de $f$ : $F' = f$. Deux primitives diffèrent d’une constante ; une condition $F(x_0) = y_0$ fixe la constante.
• Formes composées : $u'u^n \to \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$, $\dfrac{u'}{u} \to \ln u$, $u'e^u \to e^u$, $\dfrac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$. Vérifier en dérivant.
• $y' = ay$ : $y = Ce^{ax}$. $y' = ay + b$ : $y = Ce^{ax} - \dfrac ba$. $y' = ay + f$ : $y = y_p + Ce^{ax}$.
• Méthode d’Euler : $y(t + h) \approx y(t) + h\,y'(t)$.