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Primitives et équations différentielles — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Une primitive de $x \mapsto x^3$ ?
Une primitive de $x \mapsto e^{2x}$ ?
Une primitive de $x \mapsto \dfrac1x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ ?
Une primitive de $x \mapsto \cos x$ ?
Solutions de $y' = 4y$ ?
Solution constante de $y' = 3y - 12$ ?
Dérive $x \mapsto \ln(x^2 + 3)$ .
Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur un intervalle, que vaut $(F - G)'$ ?

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Donne une primitive sur $\mathbb{R}$ de $f(x) = 6x^2 - 5 + e^{-x}$ . (1 point)
Donne une primitive sur $\mathbb{R}$ de $g(x) = \dfrac{x}{x^2 + 4}$ . (1,5 point)
Donne une primitive sur $\mathbb{R}$ de $h(x) = (4x - 1)^3$ . (1 point)
Détermine la primitive $K$ de $k(x) = \dfrac{1}{\sqrt x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$ telle que $K(4) = 1$ . (1,5 point)

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$F(x) = 2x^3 - 5x - e^{-x}$ .
$g = \dfrac12 \times \dfrac{2x}{x^2 + 4}$ , forme $\dfrac12\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + 4 > 0$ : $G(x) = \dfrac12\ln(x^2 + 4)$ .
$h = \dfrac14 \times 4(4x - 1)^3$ : $H(x) = \dfrac14 \times \dfrac{(4x - 1)^4}{4} = \dfrac{(4x - 1)^4}{16}$ .
$K(x) = 2\sqrt x + C$ ; $K(4) = 4 + C = 1$ : $K(x) = 2\sqrt x - 3$ .

Soit $a$ un réel et $y$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $y' = ay$ . On pose $z(x) = y(x)e^{-ax}$ .

Calcule $z'(x)$ et montre que $z'(x) = 0$ pour tout $x$ . (2 points)
En déduire l'expression de $y(x)$ . (1 point)
Vérifie que, réciproquement, toute fonction $x \mapsto Ce^{ax}$ est solution de $y' = ay$ . (1 point)

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$z'(x) = y'(x)e^{-ax} + y(x) \times (-a)e^{-ax} = \big(y'(x) - ay(x)\big)e^{-ax} = 0$ car $y' = ay$ .
$z$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}$ : elle est constante, égale à un réel $C$ . Donc $y(x)e^{-ax} = C$ et $y(x) = Ce^{ax}$ .
$(Ce^{ax})' = aCe^{ax} = a \times (Ce^{ax})$ .

Lors de la charge d'un condensateur, la tension $u(t)$ (en volts) à ses bornes, $t$ en secondes, vérifie $u'(t) = -20\,u(t) + 100$ et $u(0) = 0$ .

Détermine la solution constante de l'équation $y' = -20y + 100$ . (1 point)
Résous l'équation et détermine la solution vérifiant $u(0) = 0$ . (2 points)
Étudie les variations de $u$ sur $[0\,;\,+\infty[$ et sa limite en $+\infty$ . Interprète. (2 points)
On considère que le condensateur est chargé quand $u(t) \geqslant 4{,}9$ V. Au bout de combien de temps est-ce le cas ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée au millième de seconde. (2 points)

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$0 = -20k + 100 \iff k = 5$ .
Solutions : $y(t) = Ce^{-20t} + 5$ . $u(0) = C + 5 = 0$ , donc $C = -5$ : $u(t) = 5 - 5e^{-20t} = 5\left(1 - e^{-20t}\right)$ .
$u'(t) = 100e^{-20t} > 0$ : $u$ est strictement croissante. $e^{-20t} \to 0$ donc $u(t) \to 5$ : la tension augmente et se stabilise à $5$ V (tension de charge complète).
$5 - 5e^{-20t} \geqslant 4{,}9 \iff e^{-20t} \leqslant 0{,}02 \iff -20t \leqslant \ln 0{,}02 \iff t \geqslant -\dfrac{\ln 0{,}02}{20} = \dfrac{\ln 50}{20}$ . Soit $t \geqslant 0{,}196$ s environ.