Terminale

Primitives et équations différentielles — Exercices d'application

1. Équation différentielle et primitive

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Exercice 1 — ⭐

Vérifie que $y(x) = 3e^{-x} + 2$ est solution sur $\mathbb{R}$ de l’équation $y' + y = 2$ .
Vérifie que $F(x) = x\ln x - x$ est une primitive de $f(x) = \ln x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ .
$G(x) = \sin^2 x$ et $H(x) = -\cos^2 x$ sont-elles des primitives de la même fonction ? Explique ce résultat.

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$y'(x) = -3e^{-x}$ , donc $y' + y = -3e^{-x} + 3e^{-x} + 2 = 2$ . Oui.
$F'(x) = \ln x + x \times \dfrac1x - 1 = \ln x$ . Oui.
$G'(x) = 2\sin x\cos x$ et $H'(x) = -2\cos x \times (-\sin x) = 2\sin x\cos x$ : oui. Normal : $G(x) - H(x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , les deux primitives diffèrent d’une constante.

2. Ensemble des primitives d’une fonction

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Exercice 2 — ⭐⭐

Détermine la primitive $F$ de $f(x) = 4x^3 - 2x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1) = 3$ .
Détermine la primitive $G$ de $g(x) = e^{2x}$ sur $\mathbb{R}$ telle que $G(0) = 0$ .
Détermine la primitive $H$ de $h(x) = \dfrac1x$ sur $]0\,;\,+\infty[$ dont la courbe passe par le point $(e\,;\,5)$ .

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$F(x) = x^4 - x^2 + C$ ; $F(1) = C = 3$ : $F(x) = x^4 - x^2 + 3$ .
$G(x) = \dfrac12 e^{2x} + C$ ; $G(0) = \dfrac12 + C = 0$ : $G(x) = \dfrac12\left(e^{2x} - 1\right)$ .
$H(x) = \ln x + C$ ; $H(e) = 1 + C = 5$ : $H(x) = \ln x + 4$ .

3. Calculer des primitives

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Exercice 3 — ⭐⭐

Donne une primitive de chaque fonction sur l’intervalle indiqué.

$f_1(x) = 3x^2 - 4x + 1$ sur $\mathbb{R}$
$f_2(x) = \dfrac{1}{x^2}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
$f_3(x) = \dfrac{2}{\sqrt x}$ sur $]0\,;\,+\infty[$
$f_4(x) = e^x + \cos x$ sur $\mathbb{R}$
$f_5(x) = \dfrac5x - 2\sin x$ sur $]0\,;\,+\infty[$

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$F_1(x) = x^3 - 2x^2 + x$ .
$x^{-2}$ a pour primitive $\dfrac{x^{-1}}{-1}$ : $F_2(x) = -\dfrac1x$ .
$F_3(x) = 4\sqrt x$ .
$F_4(x) = e^x + \sin x$ .
$F_5(x) = 5\ln x + 2\cos x$ .

Exercice 4 — ⭐⭐

Formes composées : donne une primitive (et vérifie en dérivant).

$f(x) = 2x(x^2 + 1)^3$ sur $\mathbb{R}$
$g(x) = e^{3x}$ sur $\mathbb{R}$
$h(x) = xe^{-x^2}$ sur $\mathbb{R}$
$k(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}$ sur $\mathbb{R}$
$m(x) = \dfrac{1}{(2x - 1)^2}$ sur $\left]\dfrac12\,;\,+\infty\right[$
$p(x) = \cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$

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$u'u^3$ avec $u = x^2 + 1$ : $F(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^4}{4}$ .
$G(x) = \dfrac13 e^{3x}$ .
$h = -\dfrac12(-2x)e^{-x^2}$ : $H(x) = -\dfrac12 e^{-x^2}$ .
$\dfrac{u'}{u}$ avec $u = x^2 + x + 1 > 0$ (discriminant $-3 < 0$ ) : $K(x) = \ln(x^2 + x + 1)$ .
$m = \dfrac12 \times 2(2x - 1)^{-2}$ , forme $\dfrac12 u'u^{-2}$ : $M(x) = \dfrac12 \times \dfrac{(2x - 1)^{-1}}{-1} = -\dfrac{1}{2(2x - 1)}$ .
$P(x) = \dfrac12\sin(2x)$ .

Exercice 5 — ⭐⭐

Montre que $F(x) = (x - 1)e^x$ est une primitive de $f(x) = xe^x$ sur $\mathbb{R}$ .
Montre que $G(x) = \ln(1 + e^x)$ est une primitive de $g(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$ sur $\mathbb{R}$ .
Détermine des réels $a$ et $b$ tels que $H(x) = (ax + b)e^{-x}$ soit une primitive de $h(x) = (2x + 1)e^{-x}$ .

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$F'(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x$ .
$g$ est de la forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u = 1 + e^x > 0$ ; $G'(x) = \dfrac{e^x}{1 + e^x}$ .
$H'(x) = ae^{-x} - (ax + b)e^{-x} = (-ax + a - b)e^{-x}$ . On identifie : $-a = 2$ et $a - b = 1$ , d’où $a = -2$ , $b = -3$ : $H(x) = (-2x - 3)e^{-x}$ .

4. L’équation y’ = ay

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Exercice 6 — ⭐⭐

Résous $y' = -3y$ avec $y(0) = 2$ .
Résous $y' = 0{,}5y$ avec $y(2) = e$ .
Résous $3y' - y = 0$ .

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$y(x) = Ce^{-3x}$ , $y(0) = C = 2$ : $y(x) = 2e^{-3x}$ .
$y(x) = Ce^{0{,}5x}$ , $y(2) = Ce = e$ : $C = 1$ , $y(x) = e^{0{,}5x}$ .
$y' = \dfrac13 y$ : $y(x) = Ce^{x/3}$ , $C \in \mathbb{R}$ .

5. Les équations y’ = ay + b et y’ = ay + f

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Résous $y' = 2y - 6$ , puis détermine la solution telle que $y(0) = 5$ .
Résous $2y' + y = 4$ avec $y(0) = 1$ et détermine la limite de la solution en $+\infty$ .

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Solution constante : $-\dfrac{-6}{2} = 3$ . Solutions : $y(x) = Ce^{2x} + 3$ . $y(0) = C + 3 = 5$ : $y(x) = 2e^{2x} + 3$ .
$y' = -0{,}5y + 2$ : solution constante $4$ , solutions $y(x) = Ce^{-0{,}5x} + 4$ ; $y(0) = 1$ donne $C = -3$ : $y(x) = 4 - 3e^{-0{,}5x}$ , qui tend vers $4$ en $+\infty$ .

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On considère l’équation $(E)$ : $y' + y = 2x + 3$ .

Détermine des réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $y_p(x) = \alpha x + \beta$ soit solution de $(E)$ .
Résous l’équation $y' + y = 0$ .
En déduire les solutions de $(E)$ , puis celle qui vérifie $y(0) = 0$ .

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$y_p' + y_p = \alpha + \alpha x + \beta = \alpha x + (\alpha + \beta)$ . On veut $\alpha = 2$ et $\alpha + \beta = 3$ : $\beta = 1$ , $y_p(x) = 2x + 1$ .
$y' = -y$ : $y(x) = Ce^{-x}$ .
Solutions de $(E)$ : $y(x) = Ce^{-x} + 2x + 1$ . $y(0) = C + 1 = 0$ : $y(x) = -e^{-x} + 2x + 1$ .

6. Modéliser et approcher : la méthode d’Euler

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Exercice 9 — ⭐⭐⭐

On perfuse un patient : la quantité de médicament $Q(t)$ (en mg) dans le sang, $t$ en heures, vérifie $Q'(t) = -0{,}2\,Q(t) + 6$ et $Q(0) = 0$ .

Résous cette équation différentielle.
Quelle quantité se stabilise à long terme ?
Au bout de combien de temps (à la minute près) la quantité atteint-elle $25$ mg ?
Complète le programme suivant qui approche $Q(5)$ par la méthode d’Euler avec un pas de $0{,}1$ , puis compare à la valeur exacte.

t, Q, h = 0, 0, 0.1
while t < 5 - 1e-9:
    Q = ...
    t = t + h
print(Q)

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Solution constante : $-\dfrac{6}{-0{,}2} = 30$ . $Q(t) = Ce^{-0{,}2t} + 30$ et $Q(0) = C + 30 = 0$ : $Q(t) = 30\left(1 - e^{-0{,}2t}\right)$ .
$e^{-0{,}2t} \to 0$ : $Q(t) \to 30$ mg.
$30(1 - e^{-0{,}2t}) = 25 \iff e^{-0{,}2t} = \dfrac16 \iff t = \dfrac{\ln 6}{0{,}2} = 5\ln 6 \approx 8{,}96$ h, soit environ $8$ h $58$ min.
Q = Q + h * (-0.2 * Q + 6). Le programme affiche environ $19{,}07$ ; la valeur exacte est $Q(5) = 30(1 - e^{-1}) \approx 18{,}96$ .

t, Q, h = 0, 0, 0.1
while t < 5 - 1e-9:
    Q = Q + h * (-0.2 * Q + 6)
    t = t + h
print(Q)  # environ 19.07