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Chaînes de Markov — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question). On pose $P = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ (états $1$ et $2$ ).

Probabilité de passer de l'état $2$ à l'état $1$ en une transition ?
Que vaut la somme des coefficients de chaque ligne ?
$\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ : que vaut $\pi_1$ ?
Exprime $\pi_5$ en fonction de $\pi_0$ et $P$ .
Que représente le coefficient $(1, 2)$ de $P^3$ ?
Écris l'équation vérifiée par une distribution invariante $\pi$ .
Vérifie que $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ est invariante.
Combien d'arcs (boucles comprises) a le graphe probabiliste associé ?

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$0{,}2$ .
$1$ .
$\begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ (la première ligne de $P$ ).
$\pi_5 = \pi_0P^5$ .
La probabilité de passer de l'état $1$ à l'état $2$ en $3$ transitions.
$\pi P = \pi$ (avec des coefficients positifs de somme $1$ ).
$\begin{pmatrix} 0{,}4 \times 0{,}7 + 0{,}6 \times 0{,}2 & 0{,}4 \times 0{,}3 + 0{,}6 \times 0{,}8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ : oui.
$4$ (deux boucles et deux arcs entre les états).

Exercice 2 (4 points) — Démonstration de cours

Pour une chaîne de Markov à deux états de matrice de transition $P$ , démontre que $\pi_{n+1} = \pi_nP$ , puis que $\pi_n = \pi_0P^n$ pour tout entier naturel $n$ .

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Par la formule des probabilités totales, avec le système complet $\{X_n = 1\,;\,X_n = 2\}$ : $P(X_{n+1} = j) = P(X_n = 1)\,p_{1j} + P(X_n = 2)\,p_{2j}$ pour $j = 1$ et $j = 2$ . Ce sont les deux coefficients du produit $\pi_nP$ : $\pi_{n+1} = \pi_nP$ . Par récurrence : $\pi_0 = \pi_0P^0$ ; si $\pi_n = \pi_0P^n$ , alors $\pi_{n+1} = \pi_0P^nP = \pi_0P^{n+1}$ .

Exercice 3 (12 points) — Covoiturage

Chaque jour, un salarié va au travail soit en voiture seul ( $V$ ), soit en covoiturage ( $C$ ). S'il est venu seul un jour, il covoiture le lendemain avec la probabilité $0{,}3$ ; s'il a covoituré, il recommence le lendemain avec la probabilité $0{,}8$ . Le lundi (jour $0$ ), il vient seul.

Dessine le graphe probabiliste et écris la matrice de transition $M$ (ordre $V$ , $C$ ). (2 points)
Calcule $\pi_1$ et $\pi_2$ . Quelle est la probabilité qu'il covoiture le mercredi ? (2 points)
On note $c_n$ la probabilité qu'il covoiture le jour $n$ . Montre que $c_{n+1} = 0{,}5c_n + 0{,}3$ . (2 points)
Montre que $u_n = c_n - 0{,}6$ définit une suite géométrique ; en déduire $c_n$ en fonction de $n$ . (3 points)
Détermine la limite de $c_n$ et vérifie que $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ est la distribution invariante. Interprète. (2 points)
À partir de quel jour la probabilité de covoiturer dépasse-t-elle $0{,}59$ ? (1 point)

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Boucle $V$ : $0{,}7$ ; $V \to C$ : $0{,}3$ ; $C \to V$ : $0{,}2$ ; boucle $C$ : $0{,}8$ . $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}8 \end{pmatrix}$ .
$\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $\pi_1 = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ , $\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}55 & 0{,}45 \end{pmatrix}$ . Le mercredi (jour $2$ ), il covoiture avec la probabilité $0{,}45$ .
$c_{n+1} = P(X_n = V) \times 0{,}3 + P(X_n = C) \times 0{,}8 = 0{,}3(1 - c_n) + 0{,}8c_n = 0{,}5c_n + 0{,}3$ .
$u_{n+1} = c_{n+1} - 0{,}6 = 0{,}5c_n - 0{,}3 = 0{,}5(c_n - 0{,}6) = 0{,}5u_n$ : suite géométrique de raison $0{,}5$ et de premier terme $u_0 = c_0 - 0{,}6 = -0{,}6$ . Donc $c_n = 0{,}6 - 0{,}6 \times 0{,}5^n$ .
$0{,}5^n \to 0$ donc $c_n \to 0{,}6$ . Et $\begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}M = \begin{pmatrix} 0{,}28 + 0{,}12 & 0{,}12 + 0{,}48 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ : c'est la distribution invariante. À long terme, il covoiture environ $6$ jours sur $10$ .
$c_5 = 0{,}58125 < 0{,}59$ et $c_6 = 0{,}590625 > 0{,}59$ : à partir du jour $6$ (le mardi de la semaine suivante).