Terminale

Chaînes de Markov — Exercices d'application

1. Graphe probabiliste

Exercice 1 — ⭐

Un abonné à une plateforme de vidéos peut être, chaque mois, actif ( $A$ ) ou inactif ( $I$ ). Un abonné actif le reste le mois suivant avec la probabilité $0{,}9$ ; un abonné inactif redevient actif avec la probabilité $0{,}3$ .

Dessine le graphe probabiliste.
Écris la matrice de transition $P$ (ordre $A$ , $I$ ). Vérifie la somme des lignes.

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Boucle sur $A$ : $0{,}9$ ; arc $A \to I$ : $0{,}1$ ; arc $I \to A$ : $0{,}3$ ; boucle sur $I$ : $0{,}7$ .
$P = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}1 \\ 0{,}3 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ ; $0{,}9 + 0{,}1 = 1$ et $0{,}3 + 0{,}7 = 1$ .

2. Matrice de transition et distributions

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Exercice 2 — ⭐⭐

On reprend l’exercice 1. Au départ, $60\,\%$ des abonnés sont actifs.

Écris $\pi_0$ .
Calcule $\pi_1$ et $\pi_2$ . Interprète.
Exprime $\pi_n$ en fonction de $\pi_0$ et de $P$ .

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$\pi_0 = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ .
$\pi_1 = \begin{pmatrix} 0{,}6 \times 0{,}9 + 0{,}4 \times 0{,}3 & 0{,}6 \times 0{,}1 + 0{,}4 \times 0{,}7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}66 & 0{,}34 \end{pmatrix}$ ; $\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}696 & 0{,}304 \end{pmatrix}$ . La proportion d’actifs augmente : $66\,\%$ puis $69{,}6\,\%$ .
$\pi_n = \pi_0P^n$ .

Exercice 3 — ⭐⭐

Trois états. Un robot se déplace chaque minute entre trois pièces $1$ , $2$ , $3$ selon la matrice de transition $P = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \\ 0{,}2 & 0{,}8 & 0 \end{pmatrix}$ .

Dessine le graphe probabiliste.
Le robot part de la pièce $1$ . Calcule $\pi_1$ et $\pi_2$ .
Quelle est la probabilité qu’il soit dans la pièce $1$ au bout de $2$ minutes ? Retrouve ce résultat en listant les chemins.

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Arcs $1 \to 2$ et $1 \to 3$ ( $0{,}5$ chacun) ; $2 \to 1$ et $2 \to 3$ ( $0{,}5$ ) ; $3 \to 1$ ( $0{,}2$ ) et $3 \to 2$ ( $0{,}8$ ). Pas de boucles.
$\pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ ; $\pi_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}5 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ ; $\pi_2 = \begin{pmatrix} 0{,}35 & 0{,}4 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ .
$0{,}35$ : chemins $1 \to 2 \to 1$ ( $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ ) et $1 \to 3 \to 1$ ( $0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}1$ ).

3. Transitions en n étapes

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Exercice 4 — ⭐⭐

On reprend l’exercice 1.

Calcule $P^2$ .
Un abonné est inactif en janvier. Quelle est la probabilité qu’il soit actif en mars ?
À la calculatrice ou avec Python, calcule $P^{12}$ . Que remarques-tu sur ses deux lignes ?

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$P^2 = \begin{pmatrix} 0{,}84 & 0{,}16 \\ 0{,}48 & 0{,}52 \end{pmatrix}$ .
Deux transitions depuis $I$ : coefficient $(I, A)$ de $P^2$ , soit $0{,}48$ .
$P^{12} \approx \begin{pmatrix} 0{,}751 & 0{,}249 \\ 0{,}748 & 0{,}252 \end{pmatrix}$ (arrondis au millième) : les deux lignes sont presque égales, l’état de départ ne compte presque plus.

4. Distribution invariante et comportement à long terme

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Exercice 5 — ⭐⭐

Détermine la distribution invariante de la chaîne de l’exercice 1.
Interprète le résultat pour la plateforme.

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$\begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ : $0{,}9x + 0{,}3y = x$ , soit $0{,}3y = 0{,}1x$ , $x = 3y$ . Avec $x + y = 1$ : $\pi = \begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ .
À long terme, environ $75\,\%$ des abonnés sont actifs chaque mois, quelle que soit la situation de départ.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

On reprend l’exercice 1 et on note $a_n$ la probabilité qu’un abonné soit actif au mois $n$ , avec $a_0 = 0{,}6$ .

Montre que $a_{n+1} = 0{,}6a_n + 0{,}3$ .
On pose $v_n = a_n - 0{,}75$ . Montre que $(v_n)$ est géométrique.
En déduire $a_n$ en fonction de $n$ et sa limite.

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$a_{n+1} = 0{,}9a_n + 0{,}3(1 - a_n) = 0{,}6a_n + 0{,}3$ .
$v_{n+1} = 0{,}6a_n + 0{,}3 - 0{,}75 = 0{,}6a_n - 0{,}45 = 0{,}6(a_n - 0{,}75) = 0{,}6v_n$ : géométrique de raison $0{,}6$ , de premier terme $v_0 = -0{,}15$ .
$a_n = 0{,}75 - 0{,}15 \times 0{,}6^n$ . Comme $0 < 0{,}6 < 1$ , $0{,}6^n \to 0$ et $a_n \to 0{,}75$ .

Exercice 7 — ⭐⭐⭐⭐

Marche aléatoire (Ehrenfest simplifié). Deux urnes contiennent au total $2$ boules. À chaque étape, on choisit une boule au hasard parmi les deux et on la change d’urne. On note $X_n$ le nombre de boules dans l’urne 1 ( $0$ , $1$ ou $2$ ).

Justifie que la matrice de transition (états $0$ , $1$ , $2$ ) est $P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ .
Détermine la distribution invariante.
Calcule $P^2$ et $P^3$ . Si $X_0 = 0$ , la suite $\pi_n$ converge-t-elle ? Commente.

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Depuis $0$ : la boule choisie est forcément dans l’urne 2, on passe à $1$ . Depuis $2$ : on passe à $1$ . Depuis $1$ : on choisit la boule de l’urne 1 (probabilité $0{,}5$ , on passe à $0$ ) ou celle de l’urne 2 (on passe à $2$ ).
$\begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}P = \begin{pmatrix} 0{,}5y & x + z & 0{,}5y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & y & z \end{pmatrix}$ : $x = z = 0{,}5y$ et $x + y + z = 1$ donnent $\pi = \begin{pmatrix} 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \end{pmatrix}$ .
$P^2 = \begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ et $P^3 = P$ . Avec $X_0 = 0$ : $\pi_n$ vaut alternativement $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ ( $n$ impair) et $\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}$ ( $n \geqslant 2$ pair) : elle ne converge pas, bien qu’il existe une distribution invariante. Les hypothèses de la propriété du cours ne sont pas vérifiées (toutes les puissances de $P$ ont des coefficients nuls).