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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Une fonction dérivable sur $I$ est-elle continue sur $I$ ?
Cite une fonction continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ .
$E(-1{,}2)$ , où $E$ est la partie entière ?
$\displaystyle\lim_{n \to +\infty} e^{-1/n}$ ?
Résous $x^2 = x + 2$ .
Calcule $2^{10}$ .
Dérive $x \mapsto 2x^3 - 3x^2$ .
Si $f$ est continue sur $[0\,;\,2]$ avec $f(0) = -1$ et $f(2) = 3$ , l'équation $f(x) = 0$ a-t-elle forcément une solution dans $[0\,;\,2]$ ?

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Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = e^x$ si $x \leqslant 0$ et $f(x) = x^2 + bx + c$ si $x > 0$ .

Pour quelle valeur de $c$ la fonction $f$ est-elle continue en $0$ ? (1,5 point)
On garde cette valeur de $c$ . Pour quelle valeur de $b$ les deux morceaux ont-ils la même tangente en $0$ ? (1,5 point)

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$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = c$ et $f(0) = e^0 = 1$ (la limite à gauche vaut aussi $1$ ). $f$ est continue en $0$ si et seulement si $c = 1$ .
Tangente du premier morceau en $0$ : pente $e^0 = 1$ . Pour le second, la dérivée de $x^2 + bx + 1$ en $0$ vaut $b$ . Il faut $b = 1$ .

Soit $g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 1$ sur $[1\,;\,3]$ .

Étudie les variations de $g$ sur $[1\,;\,3]$ . (2 points)
Montre que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;\,3]$ . (2 points)
Calcule $g(1{,}5)$ et $g(2)$ , puis donne un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ . (1 point)
En déduire le signe de $g(x)$ sur $[1\,;\,3]$ . (1 point)

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$g'(x) = 6x^2 - 6x = 6x(x - 1) > 0$ sur $]1\,;\,3]$ : $g$ est strictement croissante sur $[1\,;\,3]$ , de $g(1) = -2$ à $g(3) = 26$ .
$g$ est continue (polynôme) et strictement croissante sur $[1\,;\,3]$ , et $0 \in [-2\,;\,26]$ : par le corollaire du TVI, $g(x) = 0$ a une unique solution $\alpha \in [1\,;\,3]$ .
$g(1{,}5) = -1 < 0$ et $g(2) = 3 > 0$ , donc $1{,}5 < \alpha < 2$ . Au tableau de valeurs : $g(1{,}67) \approx -0{,}052$ et $g(1{,}68) \approx 0{,}016$ , donc $1{,}67 < \alpha < 1{,}68$ .
$g$ est croissante et $g(\alpha) = 0$ : $g(x) < 0$ sur $[1\,;\,\alpha[$ et $g(x) > 0$ sur $]\alpha\,;\,3]$ .

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$ .

Calcule $u_1$ et $u_2$ (valeurs exactes). (1 point)
Démontre par récurrence que, pour tout $n$ , $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ . (2,5 points)
En déduire que $(u_n)$ converge. (1 point)
Détermine sa limite en justifiant. (2,5 points)

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$u_1 = \sqrt7$ ; $u_2 = \sqrt{\sqrt7 + 6}$ .
$f(x) = \sqrt{x + 6}$ est croissante sur $[0\,;\,3]$ et $f(3) = 3$ . Initialisation : $0 \leqslant 1 \leqslant \sqrt7 \leqslant 3$ (car $7 \leqslant 9$ ). Hérédité : si $0 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 3$ , alors $f(0) \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant f(3)$ , soit $\sqrt6 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 3$ , donc $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 3$ .
$(u_n)$ est croissante et majorée par $3$ : elle converge (convergence monotone).
Sa limite $\ell$ vérifie $0 \leqslant \ell \leqslant 3$ . $f$ est continue sur $[0\,;\,3]$ , donc $\ell = f(\ell) = \sqrt{\ell + 6}$ . D'où $\ell^2 = \ell + 6$ , $\ell^2 - \ell - 6 = 0$ , $(\ell - 3)(\ell + 2) = 0$ . Comme $\ell \geqslant 0$ , $\ell = 3$ .