Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des limites de fonctions (Terminale — Limites de fonctions) et de suites (Terminale — Limites de suites), et étudier des variations avec la dérivée (Première — Dérivation et variations). La continuité est la propriété qui garantit qu’une courbe « ne saute pas » — et donc qu’une fonction qui passe d’une valeur négative à une valeur positive s’annule forcément.

1. Fonction continue

Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$.

• $f$ est continue en $a$ si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• $f$ est continue sur $I$ si elle est continue en tout point de $I$.

Graphiquement, une fonction continue sur un intervalle a une courbe qu’on peut tracer sans lever le crayon.

Propriétés (admises).

• Les fonctions de référence (affines, polynômes, inverse, racine carrée, exponentielle, valeur absolue) sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition.
• Sommes, produits, quotients (dénominateur non nul) et composées de fonctions continues sont continues.

Contre-exemple : la partie entière. Pour tout réel $x$, $E(x)$ est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ (en Python : math.floor(x)). $E(0{,}9) = 0$, $E(1) = 1$, $E(-0{,}5) = -1$. Quand $x$ tend vers $1$ par la gauche, $E(x)$ vaut $0$, alors que $E(1) = 1$ : $E$ n’est pas continue en $1$ (ni en aucun entier). Sa courbe est un escalier.

Exemple (fonction définie par morceaux). $f(x) = x^2$ si $x < 1$ et $f(x) = 3x - a$ si $x \geqslant 1$. Chaque morceau est continu. En $1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1$ et $f(1) = 3 - a$. $f$ est continue en $1$ si et seulement si $3 - a = 1$, soit $a = 2$.

Convention. Dans un tableau de variations, une flèche traduit la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle concerné.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Dérivabilité et continuité

Théorème (admis). Toute fonction dérivable sur un intervalle $I$ est continue sur $I$.

La réciproque est fausse. La fonction valeur absolue est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ (sa courbe a un « coin ») ; la fonction racine carrée est continue en $0$ mais pas dérivable en $0$ (tangente verticale, démontré en Première).

Conséquence pratique. Pour justifier qu’une fonction est continue, il suffit souvent de dire qu’elle est dérivable (ce qu’on a déjà justifié pour étudier ses variations).

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Image d’une suite convergente

Théorème (admis). Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers $\ell$, et $f$ une fonction continue en $\ell$. Alors la suite $\big(f(u_n)\big)$ converge vers $f(\ell)$.

Exemple. $u_n = 2 + \dfrac1n$ converge vers $2$ ; $f = \exp$ est continue en $2$, donc $e^{2 + \frac1n} \to e^2$.

Théorème du point fixe. Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1} = f(u_n)$. Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell$ est solution de l’équation $f(x) = x$.

Preuve. D’une part $u_{n+1} \to \ell$ (c’est la même suite décalée d’un rang). D’autre part $u_{n+1} = f(u_n) \to f(\ell)$ par le théorème précédent. Par unicité de la limite, $f(\ell) = \ell$.

Exemple. $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 6}$. Une récurrence donne $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ : $(u_n)$ est croissante et majorée, donc converge vers $\ell \in [0\,;\,3]$. La fonction $f : x \mapsto \sqrt{x + 6}$ est continue sur $[0\,;\,3]$, donc $\ell = \sqrt{\ell + 6}$, d’où $\ell^2 = \ell + 6$, $\ell^2 - \ell - 6 = 0$, $\ell = 3$ ou $\ell = -2$. Comme $\ell \geqslant 0$, $\ell = 3$.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Théorème des valeurs intermédiaires

Théorème des valeurs intermédiaires (admis). Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a\,;\,b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x) = k$ admet au moins une solution dans $[a\,;\,b]$.

Corollaire (théorème de la bijection). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a\,;\,b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a\,;\,b]$.

Ce corollaire s’étend aux intervalles ouverts ou non bornés, en remplaçant $f(a)$ et $f(b)$ par les limites aux bornes.

Attention. Sans continuité, le théorème est faux (la partie entière « saute » la valeur $0{,}5$) ; sans stricte monotonie, il peut y avoir plusieurs solutions.

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Approcher une solution : dichotomie

On sait que $\alpha$ existe, mais on ne sait pas le calculer exactement. On l’encadre.

• Balayage : on calcule $f(0)$, $f(0{,}1)$, $f(0{,}2)$… et on repère le changement de signe (tableur, calculatrice).
• Dichotomie : on coupe l’intervalle en deux, on garde la moitié où $f$ change de signe, et on recommence. L’amplitude est divisée par $2$ à chaque étape.

def f(x):
    return x**3 + x - 1

def dichotomie(a, b, precision):
    """f continue sur [a, b] avec f(a) et f(b) de signes contraires."""
    while b - a > precision:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:   # changement de signe dans [a, m]
            b = m
        else:
            a = m
    return a, b

print(dichotomie(0, 1, 0.001))   # (0.681640625, 0.6826171875)

Il faut $10$ étapes pour passer d’une amplitude $1$ à une amplitude inférieure à $0{,}001$ ($2^{10} = 1\,024$).

Autres méthodes. La méthode de Newton (vue en Première) remplace la courbe par sa tangente ; la méthode de la sécante la remplace par une corde. Elles convergent en général beaucoup plus vite, mais demandent plus d’hypothèses.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

• Continue en $a$ : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ; dérivable ⟹ continue (réciproque fausse : $|x|$, $\sqrt x$ en $0$).
• $u_n \to \ell$ et $f$ continue en $\ell$ ⟹ $f(u_n) \to f(\ell)$ ; limite d’une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ : solution de $f(x) = x$.
• TVI : $f$ continue sur $[a\,;\,b]$, $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$ ⟹ au moins une solution de $f(x) = k$.
• Continue et strictement monotone ⟹ une unique solution.
• Dichotomie : l’amplitude est divisée par $2$ à chaque étape.