Terminale⏱ 5 séances

Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l'espace

Ce que tu vas apprendre

Calculer un produit scalaire dans l'espace (projection, normes et angle, polarisation, coordonnées)
Calculer normes et distances dans un repère orthonormé de l'espace
Démontrer l'orthogonalité de deux droites, d'une droite et d'un plan
Utiliser un vecteur normal à un plan ; reconnaître des plans perpendiculaires
Déterminer le projeté orthogonal d'un point sur une droite ou un plan et en déduire une distance
Calculer des angles, longueurs, aires et volumes dans l'espace

Notions clésproduit scalaire dans l'espacebase orthonormée, repère orthonorméxx' + yy' + zz'droites orthogonalesdroite orthogonale à un planvecteur normalprojeté orthogonaldistance d'un point à un plan

Ce que tu sais déjà. En Première, tu as défini le produit scalaire dans le plan (projection, normes et angle, polarisation), sa bilinéarité et le lien avec l’orthogonalité (Première — Produit scalaire), ainsi que son expression en repère orthonormé et le projeté orthogonal sur une droite (Première — Géométrie repérée). Tu sais aussi travailler avec des vecteurs et des coordonnées dans l’espace (Terminale — Vecteurs, droites et plans).

1. Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

Définition. Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ de l’espace sont toujours contenus dans un même plan (on les représente à partir d’un même point $A$ : $\vec u = \overrightarrow{AB}$ , $\vec v = \overrightarrow{AC}$ , et le plan $(ABC)$ convient). Leur produit scalaire $\vec u \cdot \vec v$ est le produit scalaire calculé dans ce plan. Toutes les formules de Première restent vraies :

$\vec u \cdot \vec v = \|\vec u\| \times \|\vec v\| \times \cos(\vec u, \vec v)$ (si les vecteurs sont non nuls) ;
$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AH}$ , où $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ ;
$\vec u \cdot \vec u = \|\vec u\|^2$ ;
formules de polarisation : $\|\vec u + \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 + 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$ , d’où $\vec u \cdot \vec v = \dfrac12\left(\|\vec u + \vec v\|^2 - \|\vec u\|^2 - \|\vec v\|^2\right)$ , et de même $\|\vec u - \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 - 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$ .

Propriétés. Le produit scalaire est symétrique ( $\vec u \cdot \vec v = \vec v \cdot \vec u$ ) et bilinéaire : $\vec u \cdot (\vec v + \vec w) = \vec u \cdot \vec v + \vec u \cdot \vec w$ et $(k\vec u) \cdot \vec v = k(\vec u \cdot \vec v)$ .

Exemple (cube de côté $a$ ). $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG}$ : le projeté orthogonal de $G$ sur $(AB)$ est $B$ , donc $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = a^2$ . Et $\overrightarrow{EG} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AC} = AC^2 = 2a^2$ .

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Orthogonalité de vecteurs et repère orthonormé

Définition. Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonaux si $\vec u \cdot \vec v = 0$ (le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur).

Définition. Une base $(\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ est orthonormée si ses trois vecteurs sont de norme $1$ et deux à deux orthogonaux. Un repère $(O\,;\,\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$ est orthonormé si sa base l’est.

Propriété (expression analytique). Dans une base orthonormée, si $\vec u\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}$ : $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz', \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$ Dans un repère orthonormé, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$ .

Justification. On développe $(x\vec\imath + y\vec\jmath + z\vec k) \cdot (x'\vec\imath + y'\vec\jmath + z'\vec k)$ par bilinéarité : $\vec\imath \cdot \vec\imath = 1$ , $\vec\imath \cdot \vec\jmath = 0$ , etc.

Exemples.

$\vec u\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}4\\1\\-2\end{pmatrix}$ : $\vec u \cdot \vec v = 4 - 2 - 6 = -4$ ; $\|\vec u\| = \sqrt{14}$ .

Angle. $\vec a\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ et $\vec b\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$ : $\cos(\vec a, \vec b) = \dfrac{\vec a \cdot \vec b}{\|\vec a\|\,\|\vec b\|} = \dfrac{1}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac12$ , donc l’angle vaut $60°$ .

→ S’entraîner : Exercice 3

3. Droites orthogonales, droite orthogonale à un plan

Définitions.

Deux droites de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$ sont orthogonales si $\vec u \cdot \vec v = 0$ . Attention : dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas forcément sécantes. Si elles le sont, on dit qu’elles sont perpendiculaires.
Une droite $d$ est orthogonale à un plan $\mathcal{P}$ si elle est orthogonale à toutes les droites de $\mathcal{P}$ .

Théorème (admis). Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

La droite d est orthogonale au plan P : son vecteur directeur n est orthogonal aux deux vecteurs u et v qui dirigent le plan, donc à toutes les droites du plan. On dit que n est un vecteur normal à P.

Définition. Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur non nul qui dirige une droite orthogonale à $\mathcal{P}$ . Concrètement, $\vec n$ est normal au plan dirigé par $(\vec u\,;\,\vec v)$ si et seulement si $\vec n \cdot \vec u = 0$ et $\vec n \cdot \vec v = 0$ .

Exemple (cube, repère $\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)$ ). $\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{BE}\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BD} = 0$ et $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BE} = 0$ . La diagonale $(AG)$ est orthogonale au plan $(BDE)$ .

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Plan défini par un point et un vecteur normal

Propriété. Soit $A$ un point et $\vec n$ un vecteur non nul. L’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0$ est le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec n$ .

Conséquences.

Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.
Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.
Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur normal du plan.

Ce point de vue conduit à l’équation cartésienne d’un plan, étudiée au chapitre suivant.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Projeté orthogonal et distances

Définitions.

Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur une droite $d$ est le point $H$ de $d$ tel que $(MH)$ soit orthogonale à $d$ (ou $H = M$ si $M \in d$ ).
Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point d’intersection $H$ de $\mathcal{P}$ et de la droite passant par $M$ orthogonale à $\mathcal{P}$ .

Propriété (démonstration exigible). Le projeté orthogonal $H$ d’un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ . La distance $MH$ est appelée distance du point $M$ au plan $\mathcal{P}$ .

🧠 Démonstration — le projeté orthogonal est le point du plan le plus proche (exigible au programme)

Soit $N$ un point quelconque de $\mathcal{P}$ . $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}$ , donc $MN^2 = \|\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}\|^2 = MH^2 + 2\,\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} + HN^2.$ Or $H$ et $N$ sont dans $\mathcal{P}$ , donc $\overrightarrow{HN}$ est un vecteur du plan, et $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal au plan : $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} = 0$ . Ainsi $MN^2 = MH^2 + HN^2 \geqslant MH^2$ , avec égalité si et seulement si $HN = 0$ , c’est-à-dire $N = H$ . $H$ est donc l’unique point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ .

H est le projeté orthogonal de M sur le plan P. Pour tout autre point N du plan, le triangle MHN est rectangle en H, donc MN > MH : H est le point du plan le plus proche de M.

📋 Méthode — Projeté orthogonal sur une droite en repère orthonormé

Droite $d$ passant par $A$ , de vecteur directeur $\vec u$ ; point $M$ . On cherche $H$ sous la forme $\overrightarrow{AH} = t\vec u$ , avec $\overrightarrow{HM} \cdot \vec u = 0$ , soit $(\overrightarrow{AM} - t\vec u) \cdot \vec u = 0$ , d’où $t = \dfrac{\overrightarrow{AM} \cdot \vec u}{\|\vec u\|^2}$ .

Exemple : $d$ passe par $O$ et est dirigée par $\vec u\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ ; $M(3\,;\,1\,;\,2)$ . $t = \dfrac{3 + 1}{2} = 2$ , $H(2\,;\,2\,;\,0)$ ; $\overrightarrow{HM}\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ vérifie bien $\overrightarrow{HM} \cdot \vec u = 0$ . Distance de $M$ à $d$ : $HM = \sqrt6$ .

→ S’entraîner : Exercice 6 · Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

Produit scalaire dans l’espace : mêmes formules que dans le plan ; en base orthonormée, $\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz'$ .
$\|\vec u \pm \vec v\|^2 = \|\vec u\|^2 \pm 2\,\vec u \cdot \vec v + \|\vec v\|^2$ .
Droite orthogonale à un plan ⟺ orthogonale à deux droites sécantes du plan ; $\vec n$ normal ⟺ $\vec n \cdot \vec u = \vec n \cdot \vec v = 0$ .
Plans parallèles ⟺ normaux colinéaires ; plans perpendiculaires ⟺ normaux orthogonaux.
Le projeté orthogonal sur un plan est le point du plan le plus proche ; $MN^2 = MH^2 + HN^2$ .