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Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l'espace — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite. L'espace est muni d'un repère orthonormé.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question). $\vec u\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ , $\vec v\begin{pmatrix}3\\1\\-1\end{pmatrix}$ .

$\vec u \cdot \vec v$ ?
$\|\vec u\|$ ?
$\vec u$ et $\vec v$ sont-ils orthogonaux ?
Développe $\|\vec a + \vec b\|^2$ .
Distance entre $A(1\,;\,2\,;\,3)$ et $B(3\,;\,2\,;\,1)$ ?
Deux droites orthogonales de l'espace sont-elles toujours sécantes ?
Si deux plans ont des vecteurs normaux colinéaires, que dire des plans ?
$\vec u \cdot \vec u$ ?

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$3 - 1 - 2 = 0$ .
$\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt6$ .
Oui (produit scalaire nul).
$\|\vec a\|^2 + 2\,\vec a \cdot \vec b + \|\vec b\|^2$ .
$\sqrt{4 + 0 + 4} = 2\sqrt2$ .
Non.
Ils sont parallèles.
$\|\vec u\|^2 = 6$ .

Exercice 2 (5 points) — Calculs

On donne $A(2\,;\,1\,;\,0)$ , $B(3\,;\,3\,;\,-1)$ et $C(0\,;\,2\,;\,1)$ .

Calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ , $AB$ et $AC$ . (2 points)
En déduire une valeur approchée au degré près de l'angle $\widehat{BAC}$ . (1,5 point)
Détermine un réel $z$ tel que le vecteur $\vec w\begin{pmatrix}1\\1\\z\end{pmatrix}$ soit orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ . (1,5 point)

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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ , $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = -2 + 2 - 1 = -1$ ; $AB = \sqrt6$ , $AC = \sqrt6$ .
$\cos\widehat{BAC} = \dfrac{-1}{\sqrt6 \times \sqrt6} = -\dfrac16$ , d'où $\widehat{BAC} \approx 100°$ .
$\vec w \cdot \overrightarrow{AB} = 1 + 2 - z = 0 \iff z = 3$ .

Exercice 3 (4 points) — Démonstration de cours

Soit $\mathcal{P}$ un plan, $M$ un point et $H$ son projeté orthogonal sur $\mathcal{P}$ . Soit $N$ un point quelconque de $\mathcal{P}$ .

Justifie que $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} = 0$ . (1 point)
En développant $MN^2 = \|\overrightarrow{MH} + \overrightarrow{HN}\|^2$ , démontre que $MN \geqslant MH$ . Quand y a-t-il égalité ? (3 points)

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$H$ et $N$ appartiennent à $\mathcal{P}$ , donc $\overrightarrow{HN}$ est un vecteur du plan ; $(MH)$ est orthogonale au plan, donc $\overrightarrow{MH}$ est orthogonal à tout vecteur du plan : $\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} = 0$ .
$MN^2 = MH^2 + 2\,\overrightarrow{MH} \cdot \overrightarrow{HN} + HN^2 = MH^2 + HN^2 \geqslant MH^2$ . Les longueurs étant positives, $MN \geqslant MH$ . Égalité si et seulement si $HN = 0$ , c'est-à-dire $N = H$ : $H$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$ .

Exercice 4 (7 points) — Distance d'un point à un plan

On donne $O(0\,;\,0\,;\,0)$ , $A(2\,;\,0\,;\,0)$ , $B(0\,;\,4\,;\,0)$ et $C(0\,;\,0\,;\,4)$ .

Calcule le volume $V$ du tétraèdre $OABC$ . (1 point)
Montre que $\vec n\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$ . (1,5 point)
Le projeté orthogonal $H$ de $O$ sur $(ABC)$ vérifie $\overrightarrow{OH} = t\,\vec n$ . En utilisant $\overrightarrow{AH} \cdot \vec n = 0$ , détermine $t$ et les coordonnées de $H$ . (2 points)
Calcule la distance de $O$ au plan $(ABC)$ . (1 point)
En déduire l'aire du triangle $ABC$ . (1,5 point)

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$V = \dfrac13 \times \dfrac{2 \times 4}{2} \times 4 = \dfrac{16}{3}$ .
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\0\\4\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires ; $\vec n \cdot \overrightarrow{AB} = -4 + 4 = 0$ et $\vec n \cdot \overrightarrow{AC} = -4 + 4 = 0$ .
$H(2t\,;\,t\,;\,t)$ , $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}2t - 2\\t\\t\end{pmatrix}$ : $\overrightarrow{AH} \cdot \vec n = 4t - 4 + t + t = 6t - 4 = 0$ , donc $t = \dfrac23$ et $H\left(\dfrac43\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac23\right)$ .
$OH = \sqrt{\dfrac{16}9 + \dfrac49 + \dfrac49} = \dfrac{\sqrt{24}}{3} = \dfrac{2\sqrt6}{3} \approx 1{,}63$ .
$V = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{ABC} \times OH$ , donc $\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{3V}{OH} = \dfrac{16}{2\sqrt6/3} = \dfrac{24}{\sqrt6} = 4\sqrt6 \approx 9{,}80$ .