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Terminale

Produit scalaire, orthogonalité et distances dans l'espace — Exercices d'application

1. Produit scalaire de deux vecteurs de l’espace

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Exercice 1 — ⭐

ABCDEFGHABCDEFGH est un cube d’arête 11 (face ABCDABCD en bas, EE au-dessus de AA). Calcule sans repère, en utilisant des projections ou des vecteurs égaux :

  1. AB→⋅AC→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
  2. AE→⋅BC→\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC}
  3. AB→⋅HG→\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{HG}
  4. AD→⋅GF→\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{GF}
  5. EG→⋅AC→\overrightarrow{EG} \cdot \overrightarrow{AC}
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  1. Le projeté de CC sur (AB)(AB) est BB : AB→⋅AB→=1\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AB} = 1.
  2. BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}, orthogonal à AE→\overrightarrow{AE} : 00.
  3. HG→=AB→\overrightarrow{HG} = \overrightarrow{AB} : AB2=1AB^2 = 1.
  4. GF→=−AD→\overrightarrow{GF} = -\overrightarrow{AD} : −AD2=−1-AD^2 = -1.
  5. EG→=AC→\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AC} : AC2=12+12=2AC^2 = 1^2 + 1^2 = 2.

Exercice 2 — ⭐⭐

u⃗\vec u et v⃗\vec v sont deux vecteurs de l’espace tels que ∥u⃗∥=3\|\vec u\| = 3, ∥v⃗∥=2\|\vec v\| = 2 et ∥u⃗+v⃗∥=4\|\vec u + \vec v\| = 4.

  1. Calcule u⃗⋅v⃗\vec u \cdot \vec v.
  2. Calcule ∥u⃗−v⃗∥\|\vec u - \vec v\|.
  3. Détermine une valeur approchée au degré près de l’angle (u⃗,v⃗)(\vec u, \vec v).
Voir le corrigé
  1. u⃗⋅v⃗=12(16−9−4)=32\vec u \cdot \vec v = \dfrac12\left(16 - 9 - 4\right) = \dfrac32.
  2. ∥u⃗−v⃗∥2=9−2×32+4=10\|\vec u - \vec v\|^2 = 9 - 2 \times \dfrac32 + 4 = 10, donc ∥u⃗−v⃗∥=10\|\vec u - \vec v\| = \sqrt{10}.
  3. cos⁡(u⃗,v⃗)=3/23×2=14\cos(\vec u, \vec v) = \dfrac{3/2}{3 \times 2} = \dfrac14, d’où un angle d’environ 76°76°.

2. Orthogonalité de vecteurs et repère orthonormé

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Exercice 3 — ⭐⭐

L’espace est muni d’un repère orthonormé.

  1. Pour quelle valeur de mm les vecteurs u⃗(2m−1)\vec u\begin{pmatrix}2\\m\\-1\end{pmatrix} et v⃗(m34)\vec v\begin{pmatrix}m\\3\\4\end{pmatrix} sont-ils orthogonaux ?
  2. On donne A(1 ; 0 ; 2)A(1\,;\,0\,;\,2), B(2 ; 2 ; 1)B(2\,;\,2\,;\,1) et C(2 ; 0 ; 3)C(2\,;\,0\,;\,3). Montre que le triangle ABCABC est rectangle et calcule son aire.
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  1. u⃗⋅v⃗=2m+3m−4=5m−4=0  ⟺  m=45\vec u \cdot \vec v = 2m + 3m - 4 = 5m - 4 = 0 \iff m = \dfrac45.
  2. AB→(12−1)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, AC→(101)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix} : AB→⋅AC→=1+0−1=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 + 0 - 1 = 0, le triangle est rectangle en AA. AB=6AB = \sqrt6, AC=2AC = \sqrt2 ; aire =6×22=122=3= \dfrac{\sqrt6 \times \sqrt2}{2} = \dfrac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt3.

3. Droites orthogonales, droite orthogonale à un plan

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Exercice 4 — ⭐⭐

  1. On donne A(1 ; 0 ; 0)A(1\,;\,0\,;\,0), B(0 ; 2 ; 0)B(0\,;\,2\,;\,0), C(0 ; 0 ; 3)C(0\,;\,0\,;\,3) dans un repère orthonormé. Montre que n⃗(632)\vec n\begin{pmatrix}6\\3\\2\end{pmatrix} est normal au plan (ABC)(ABC).
  2. Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH muni du repère (A ; AB→,AD→,AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), montre que les droites (AG)(AG) et (BD)(BD) sont orthogonales. Sont-elles perpendiculaires ?
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  1. AB→(−120)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix} et AC→(−103)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\3\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires. n⃗⋅AB→=−6+6=0\vec n \cdot \overrightarrow{AB} = -6 + 6 = 0 et n⃗⋅AC→=−6+6=0\vec n \cdot \overrightarrow{AC} = -6 + 6 = 0 : n⃗\vec n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est normal au plan (ABC)(ABC).
  2. AG→(111)\overrightarrow{AG}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, BD→(−110)\overrightarrow{BD}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} : produit scalaire −1+1+0=0-1 + 1 + 0 = 0, les droites sont orthogonales. Les points de (AG)(AG) s’écrivent (t ; t ; t)(t\,;\,t\,;\,t) et ceux de (BD)(BD) ont une cote nulle : le seul point de (AG)(AG) de cote nulle est AA, qui n’appartient pas à (BD)(BD). Les droites ne sont pas sécantes : orthogonales mais pas perpendiculaires.

4. Plan défini par un point et un vecteur normal

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Exercice 5 — ⭐⭐

Les plans P1\mathcal{P}_1, P2\mathcal{P}_2, P3\mathcal{P}_3 ont pour vecteurs normaux respectifs n⃗1(12−1)\vec n_1\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}, n⃗2(3−11)\vec n_2\begin{pmatrix}3\\-1\\1\end{pmatrix}, n⃗3(−2−42)\vec n_3\begin{pmatrix}-2\\-4\\2\end{pmatrix}.

  1. Quelle est la position relative de P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 ? de P1\mathcal{P}_1 et P3\mathcal{P}_3 ?
  2. La droite dd de vecteur directeur w⃗(24−2)\vec w\begin{pmatrix}2\\4\\-2\end{pmatrix} est-elle orthogonale à P2\mathcal{P}_2 ? à P1\mathcal{P}_1 ?
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  1. n⃗1⋅n⃗2=3−2−1=0\vec n_1 \cdot \vec n_2 = 3 - 2 - 1 = 0 : P1\mathcal{P}_1 et P2\mathcal{P}_2 sont perpendiculaires. n⃗3=−2n⃗1\vec n_3 = -2\vec n_1 : P1\mathcal{P}_1 et P3\mathcal{P}_3 sont parallèles.
  2. w⃗=2n⃗1\vec w = 2\vec n_1 : dd est orthogonale à P1\mathcal{P}_1. w⃗\vec w n’est pas colinéaire à n⃗2\vec n_2 : dd n’est pas orthogonale à P2\mathcal{P}_2 (et comme w⃗⋅n⃗2=0\vec w \cdot \vec n_2 = 0, dd est même parallèle à P2\mathcal{P}_2).

5. Projeté orthogonal et distances

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Exercice 6 — ⭐⭐⭐

Dans le cube ABCDEFGHABCDEFGH d’arête 11, avec le repère (A ; AB→,AD→,AE→)\left(A\,;\,\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right), on note K(13 ; 13 ; 13)K\left(\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac13\right).

  1. Vérifie que KK appartient au plan (BDE)(BDE). (Indication : écris BK→\overrightarrow{BK} comme combinaison de BD→\overrightarrow{BD} et BE→\overrightarrow{BE}.)
  2. En utilisant le cours, justifie que KK est le projeté orthogonal de AA sur le plan (BDE)(BDE).
  3. En déduire la distance du point AA au plan (BDE)(BDE).
Voir le corrigé
  1. BK→(−2/31/31/3)=13BD→+13BE→\overrightarrow{BK}\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\1/3\end{pmatrix} = \dfrac13\overrightarrow{BD} + \dfrac13\overrightarrow{BE} (vérifier coordonnée par coordonnée) : K∈(BDE)K \in (BDE).
  2. AK→=13AG→\overrightarrow{AK} = \dfrac13\overrightarrow{AG} et AG→\overrightarrow{AG} est normal au plan (BDE)(BDE) (cours § 3). Donc KK est l’intersection du plan et de la droite passant par AA orthogonale au plan : c’est le projeté orthogonal de AA.
  3. AK=3×19=33≈0,577AK = \sqrt{3 \times \dfrac19} = \dfrac{\sqrt3}{3} \approx 0{,}577.

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Dans un repère orthonormé, dd est la droite passant par OO de vecteur directeur u⃗(122)\vec u\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}, et M(3 ; 3 ; 6)M(3\,;\,3\,;\,6).

  1. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal HH de MM sur dd.
  2. Calcule la distance du point MM à la droite dd.
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  1. HH vérifie OH→=tu⃗\overrightarrow{OH} = t\vec u avec t=OM→⋅u⃗∥u⃗∥2=3+6+129=73t = \dfrac{\overrightarrow{OM} \cdot \vec u}{\|\vec u\|^2} = \dfrac{3 + 6 + 12}{9} = \dfrac73 : H(73 ; 143 ; 143)H\left(\dfrac73\,;\,\dfrac{14}3\,;\,\dfrac{14}3\right). Vérification : HM→(2/3−5/34/3)\overrightarrow{HM}\begin{pmatrix}2/3\\-5/3\\4/3\end{pmatrix} et HM→⋅u⃗=2−10+83=0\overrightarrow{HM} \cdot \vec u = \dfrac{2 - 10 + 8}{3} = 0.
  2. HM=4+25+163=453=5HM = \dfrac{\sqrt{4 + 25 + 16}}{3} = \dfrac{\sqrt{45}}{3} = \sqrt5.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

Dans un repère orthonormé, O(0 ; 0 ; 0)O(0\,;\,0\,;\,0), A(3 ; 0 ; 0)A(3\,;\,0\,;\,0), B(0 ; 3 ; 0)B(0\,;\,3\,;\,0) et C(0 ; 0 ; 3)C(0\,;\,0\,;\,3).

  1. Calcule le volume du tétraèdre OABCOABC (base OABOAB, hauteur OCOC).
  2. Montre que n⃗(111)\vec n\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} est normal au plan (ABC)(ABC).
  3. Le projeté orthogonal HH de OO sur (ABC)(ABC) s’écrit H(t ; t ; t)H(t\,;\,t\,;\,t). Détermine tt sachant que AH→⋅n⃗=0\overrightarrow{AH} \cdot \vec n = 0, puis calcule OHOH.
  4. En déduire l’aire du triangle ABCABC, et vérifie-la autrement.
Voir le corrigé
  1. V=13×3×32×3=92V = \dfrac13 \times \dfrac{3 \times 3}{2} \times 3 = \dfrac92.
  2. AB→(−330)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-3\\3\\0\end{pmatrix}, AC→(−303)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-3\\0\\3\end{pmatrix} : n⃗⋅AB→=0\vec n \cdot \overrightarrow{AB} = 0 et n⃗⋅AC→=0\vec n \cdot \overrightarrow{AC} = 0.
  3. AH→(t−3tt)\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}t - 3\\t\\t\end{pmatrix} : 3t−3=03t - 3 = 0, t=1t = 1. H(1 ; 1 ; 1)H(1\,;\,1\,;\,1) et OH=3OH = \sqrt3.
  4. V=13×AABC×OHV = \dfrac13 \times \mathcal{A}_{ABC} \times OH, donc AABC=3VOH=27/23=932\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{3V}{OH} = \dfrac{27/2}{\sqrt3} = \dfrac{9\sqrt3}{2}. Autre méthode : ABCABC est équilatéral de côté AB=32AB = 3\sqrt2, d’aire 34×18=932\dfrac{\sqrt3}{4} \times 18 = \dfrac{9\sqrt3}{2}. ✓