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Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite. L'espace est muni d'un repère orthonormé.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Un vecteur normal au plan $2x - y + 5z - 1 = 0$ ?
Le point $(1\,;\,1\,;\,0)$ appartient-il au plan $2x - y + 5z - 1 = 0$ ?
Un vecteur directeur de la droite $x = 1 - t$ , $y = 3t$ , $z = 2$ ?
Le point de paramètre $t = 2$ de cette droite ?
Une équation du plan $(xOy)$ ?
Équation du plan passant par l'origine de vecteur normal $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ ?
Deux plans de vecteurs normaux $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}$ sont-ils parallèles ?
Calcule $\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}$ .

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$\begin{pmatrix}2\\-1\\5\end{pmatrix}$ .
$2 - 1 + 0 - 1 = 0$ : oui.
$\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}$ .
$(-1\,;\,6\,;\,2)$ .
$z = 0$ .
$x + y + z = 0$ .
Oui (le second est le double du premier).
$3 + 0 - 3 = 0$ .

Exercice 2 (5 points) — Droites

On donne $A(1\,;\,-1\,;\,2)$ , $B(3\,;\,0\,;\,1)$ et la droite $d$ : $x = 2t$ , $y = 1 + t$ , $z = 5 - 3t$ ( $t \in \mathbb{R}$ ).

Donne une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ . (1,5 point)
Le point $E(5\,;\,1\,;\,0)$ appartient-il à $(AB)$ ? (1 point)
Étudie la position relative des droites $(AB)$ et $d$ . (2,5 points)

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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ : $x = 1 + 2k$ , $y = -1 + k$ , $z = 2 - k$ ( $k \in \mathbb{R}$ ).
$y = 1$ donne $k = 2$ : $x = 5$ ✓, $z = 0$ ✓. Oui, $E \in (AB)$ .
Vecteurs directeurs $\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}2\\1\\-3\end{pmatrix}$ : non colinéaires. Système : $1 + 2k = 2t$ , $-1 + k = 1 + t$ , $2 - k = 5 - 3t$ . La deuxième donne $k = 2 + t$ ; dans la première : $5 + 2t = 2t$ , soit $5 = 0$ : impossible. Pas de point commun, droites non parallèles : elles sont non coplanaires.

Exercice 3 (3 points) — Démonstration de cours

Soit $\mathcal{P}$ le plan passant par $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ . Démontre que $\mathcal{P}$ admet une équation de la forme $ax + by + cz + d = 0$ , en précisant $d$ .

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$M(x\,;\,y\,;\,z) \in \mathcal{P} \iff \overrightarrow{AM} \cdot \vec n = 0 \iff a(x - x_A) + b(y - y_A) + c(z - z_A) = 0 \iff ax + by + cz + d = 0$ , avec $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$ .

Exercice 4 (8 points) — Tétraèdre et distance

On donne $A(1\,;\,0\,;\,2)$ , $B(2\,;\,1\,;\,0)$ , $C(0\,;\,1\,;\,1)$ et $D(3\,;\,2\,;\,5)$ .

Montre que $A$ , $B$ , $C$ ne sont pas alignés. (1 point)
Montre que $\vec n\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}$ est normal au plan $(ABC)$ , puis déduis-en une équation cartésienne de $(ABC)$ . (2 points)
Donne une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ passant par $D$ et orthogonale au plan $(ABC)$ . (1 point)
Détermine les coordonnées du projeté orthogonal $H$ de $D$ sur $(ABC)$ . (2 points)
Calcule la distance de $D$ au plan $(ABC)$ . (1 point)
On admet que l'aire du triangle $ABC$ vaut $\dfrac{\sqrt{14}}{2}$ . Calcule le volume du tétraèdre $ABCD$ . (1 point)

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$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}$ : $k = -1$ d'après la première coordonnée, $k = 1$ d'après la deuxième. Non colinéaires.
$\vec n \cdot \overrightarrow{AB} = 1 + 3 - 4 = 0$ ; $\vec n \cdot \overrightarrow{AC} = -1 + 3 - 2 = 0$ . Équation $x + 3y + 2z + d = 0$ avec $A$ : $1 + 4 + d = 0$ , $d = -5$ . $(ABC)$ : $x + 3y + 2z - 5 = 0$ .
$\Delta$ : $x = 3 + t$ , $y = 2 + 3t$ , $z = 5 + 2t$ .
$(3 + t) + 3(2 + 3t) + 2(5 + 2t) - 5 = 0 \iff 14 + 14t = 0 \iff t = -1$ : $H(2\,;\,-1\,;\,3)$ .
$DH = \|\overrightarrow{DH}\| = \|-\vec n\| = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14}$ .
$V = \dfrac13 \times \dfrac{\sqrt{14}}{2} \times \sqrt{14} = \dfrac{14}{6} = \dfrac73$ .