Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Ce que tu sais déjà. Tu sais caractériser une droite par un point et un vecteur directeur, et un plan par un point et deux vecteurs (Terminale — Vecteurs, droites et plans), et utiliser un vecteur normal et le produit scalaire en repère orthonormé (Terminale — Orthogonalité et distances). Dans le plan, tu connais les équations cartésiennes de droites (Seconde — Droites) et les vecteurs normaux (Première — Géométrie repérée). Dans tout le chapitre, l’espace est muni d’un repère orthonormé $(O\,;\,\vec\imath, \vec\jmath, \vec k)$.

1. Représentation paramétrique d’une droite

Propriété. Soit $d$ la droite passant par $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur directeur $\vec u\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$. Un point $M(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient à $d$ si et seulement s’il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM} = t\vec u$, c’est-à-dire $$\begin{cases} x = x_A + t\,a \\ y = y_A + t\,b \\ z = z_A + t\,c \end{cases} \qquad (t \in \mathbb{R}).$$ Ce système est une représentation paramétrique de $d$ ; $t$ est le paramètre. Chaque valeur de $t$ donne un point de $d$.

Exemple. La droite $d$ passant par $A(1\,;\,-2\,;\,3)$ et dirigée par $\vec u\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = -2 + t \\ z = 3 - t \end{cases} \qquad (t \in \mathbb{R}).$$ Le point $B(5\,;\,0\,;\,1)$ est-il sur $d$ ? La première équation donne $5 = 1 + 2t$, soit $t = 2$ ; on vérifie les deux autres : $-2 + 2 = 0$ ✓ et $3 - 2 = 1$ ✓. Donc $B \in d$ (c’est le point de paramètre $2$).

Attention. Une droite a une infinité de représentations paramétriques (on peut changer de point et de vecteur directeur). Pour montrer que deux représentations décrivent la même droite, on vérifie que les vecteurs directeurs sont colinéaires et qu’un point de l’une est sur l’autre.

→ S’entraîner : Exercice 1 · Exercice 2

2. Équation cartésienne d’un plan

Théorème (démonstration exigible).

• Un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$.
• Réciproquement, si $a$, $b$, $c$ ne sont pas tous nuls, l’ensemble des points $M(x\,;\,y\,;\,z)$ tels que $ax + by + cz + d = 0$ est un plan de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$.

Exemples.

• Plan passant par $A(1\,;\,0\,;\,2)$ de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ : $2x - y + 3z + d = 0$ et $A$ donne $2 + 6 + d = 0$, $d = -8$. Équation : $2x - y + 3z - 8 = 0$.
• Le plan d’équation $x + y + z - 6 = 0$ a pour vecteur normal $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ et contient $(6\,;\,0\,;\,0)$, $(0\,;\,6\,;\,0)$, $(0\,;\,0\,;\,6)$.
• Cas particuliers : $z = 0$ est le plan $(xOy)$ ; $x = 2$ est un plan parallèle à $(yOz)$.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

3. Intersections : traduire par des systèmes

Droite et plan. On remplace $x$, $y$, $z$ de la représentation paramétrique dans l’équation du plan : on obtient une équation d’inconnue $t$.

• Une unique solution : la droite coupe le plan en un point.
• Aucune solution : la droite est strictement parallèle au plan.
• Tout réel $t$ est solution : la droite est contenue dans le plan.

(On peut prévoir le cas : la droite est parallèle au plan si et seulement si $\vec u \cdot \vec n = 0$.)

Exemple. $d$ : $x = 1 + 2t$, $y = -2 + t$, $z = 3 - t$ et $\mathcal{P}$ : $x + y + z - 6 = 0$. En substituant : $(1 + 2t) + (-2 + t) + (3 - t) - 6 = 0 \iff 2t - 4 = 0 \iff t = 2$. Point d’intersection : $I(5\,;\,0\,;\,1)$.

Deux droites. On écrit les deux représentations avec deux paramètres différents ($t$ et $s$) et on résout le système de trois équations à deux inconnues.

• Si les vecteurs directeurs sont colinéaires : droites parallèles (ou confondues).
• Sinon : une solution $(t\,;\,s)$ ⟹ droites sécantes ; aucune solution ⟹ droites non coplanaires.

Deux plans. Si les vecteurs normaux sont colinéaires, les plans sont parallèles (ou confondus). Sinon, ils sont sécants selon une droite : on résout le système des deux équations en prenant une inconnue comme paramètre.

Exemple. $\mathcal{P}$ : $x + y - z = 1$ et $\mathcal{Q}$ : $x - y + 2z = 3$. Normaux $\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}$ non colinéaires : les plans sont sécants. On pose $z = 2s$ : $x + y = 1 + 2s$ et $x - y = 3 - 4s$, d’où $x = 2 - s$ et $y = -1 + 3s$. La droite d’intersection a pour représentation paramétrique $x = 2 - s$, $y = -1 + 3s$, $z = 2s$ ($s \in \mathbb{R}$).

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

4. Projeté orthogonal sur un plan et distance

Exemple. $\mathcal{P}$ : $2x - y + 2z - 3 = 0$ et $M(3\,;\,0\,;\,3)$. $\vec n\begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}$ ; $\Delta$ : $x = 3 + 2t$, $y = -t$, $z = 3 + 2t$. Dans l’équation de $\mathcal{P}$ : $2(3 + 2t) + t + 2(3 + 2t) - 3 = 0 \iff 9 + 9t = 0 \iff t = -1$. Donc $H(1\,;\,1\,;\,1)$ et $MH = \|-\vec n\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$.

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8

À retenir.

• Droite par $A$ dirigée par $\vec u(a\,;\,b\,;\,c)$ : $x = x_A + ta$, $y = y_A + tb$, $z = z_A + tc$.
• Plan de normal $\vec n(a\,;\,b\,;\,c)$ : $ax + by + cz + d = 0$ ; on trouve $d$ avec un point.
• Droite ∩ plan : substituer ; deux droites : deux paramètres différents ; deux plans : une inconnue en paramètre.
• Projeté orthogonal sur un plan : droite passant par $M$ dirigée par $\vec n$, intersectée avec le plan.