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Terminale

Représentations paramétriques et équations cartésiennes — Exercices d'application

Dans tous les exercices, l’espace est muni d’un repère orthonormé.

1. Représentation paramétrique d’une droite

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Exercice 1 — ⭐

On donne A(2 ; 0 ; −1)A(2\,;\,0\,;\,-1) et B(4 ; 1 ; 1)B(4\,;\,1\,;\,1).

  1. Donne une représentation paramétrique de la droite (AB)(AB).
  2. Les points C(0 ; −1 ; −3)C(0\,;\,-1\,;\,-3) et D(6 ; 2 ; 2)D(6\,;\,2\,;\,2) appartiennent-ils à (AB)(AB) ?
  3. Donne les coordonnées du point de (AB)(AB) de cote nulle (z=0z = 0).
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  1. AB→(212)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} : x=2+2tx = 2 + 2t, y=ty = t, z=−1+2tz = -1 + 2t (t∈Rt \in \mathbb{R}).
  2. CC : y=−1y = -1 donne t=−1t = -1 ; alors x=0x = 0 ✓ et z=−3z = -3 ✓ : C∈(AB)C \in (AB). DD : y=2y = 2 donne t=2t = 2 ; x=6x = 6 ✓ mais z=3≠2z = 3 \neq 2 : D∉(AB)D \notin (AB).
  3. −1+2t=0  ⟺  t=12-1 + 2t = 0 \iff t = \dfrac12 : le point (3 ; 12 ; 0)\left(3\,;\,\dfrac12\,;\,0\right).

Exercice 2 — ⭐⭐

On considère les droites d1d_1 et d2d_2 de représentations paramétriques d1:{x=3−ty=2tz=1+4t(t∈R)etd2:{x=1+2sy=4−4sz=9−8s(s∈R).d_1 : \begin{cases} x = 3 - t \\ y = 2t \\ z = 1 + 4t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \qquad \text{et} \qquad d_2 : \begin{cases} x = 1 + 2s \\ y = 4 - 4s \\ z = 9 - 8s \end{cases} \quad (s \in \mathbb{R}).

  1. Donne un point et un vecteur directeur de chacune des deux droites.
  2. Démontre que d1d_1 et d2d_2 sont confondues.
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  1. d1d_1 : point (3 ; 0 ; 1)(3\,;\,0\,;\,1), vecteur u⃗1(−124)\vec u_1\begin{pmatrix}-1\\2\\4\end{pmatrix}. d2d_2 : point (1 ; 4 ; 9)(1\,;\,4\,;\,9), vecteur u⃗2(2−4−8)\vec u_2\begin{pmatrix}2\\-4\\-8\end{pmatrix}.
  2. u⃗2=−2u⃗1\vec u_2 = -2\vec u_1 : les droites sont parallèles. Le point (1 ; 4 ; 9)(1\,;\,4\,;\,9) de d2d_2 est-il sur d1d_1 ? x=1x = 1 donne t=2t = 2, puis y=4y = 4 ✓ et z=9z = 9 ✓. Les droites sont parallèles avec un point commun : elles sont confondues.

2. Équation cartésienne d’un plan

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Exercice 3 — ⭐⭐

  1. Détermine une équation cartésienne du plan passant par A(2 ; 1 ; 0)A(2\,;\,1\,;\,0) et de vecteur normal n⃗(1−23)\vec n\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}.
  2. On donne A(1 ; 1 ; 0)A(1\,;\,1\,;\,0), B(2 ; 0 ; 1)B(2\,;\,0\,;\,1) et C(0 ; 1 ; 2)C(0\,;\,1\,;\,2). a. Vérifie que AA, BB, CC ne sont pas alignés et que m⃗(231)\vec m\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix} est normal au plan (ABC)(ABC). b. Déduis-en une équation cartésienne de (ABC)(ABC).
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  1. x−2y+3z+d=0x - 2y + 3z + d = 0 avec 2−2+0+d=02 - 2 + 0 + d = 0, donc d=0d = 0 : x−2y+3z=0x - 2y + 3z = 0 (le plan passe par l’origine).
  2. a. AB→(1−11)\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} et AC→(−102)\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires (la 2ᵉ coordonnée de AC→\overrightarrow{AC} est nulle, pas celle de AB→\overrightarrow{AB}). m⃗⋅AB→=2−3+1=0\vec m \cdot \overrightarrow{AB} = 2 - 3 + 1 = 0 et m⃗⋅AC→=−2+0+2=0\vec m \cdot \overrightarrow{AC} = -2 + 0 + 2 = 0. b. 2x+3y+z+d=02x + 3y + z + d = 0 ; AA : 2+3+d=02 + 3 + d = 0, d=−5d = -5. Équation 2x+3y+z−5=02x + 3y + z - 5 = 0. Vérification : BB : 4+0+1−5=04 + 0 + 1 - 5 = 0 ✓ ; CC : 0+3+2−5=00 + 3 + 2 - 5 = 0 ✓.

Exercice 4 — ⭐⭐

  1. Donne un vecteur normal et deux points de chacun des plans P1\mathcal{P}_1 : 3x−y+2=03x - y + 2 = 0 et P2\mathcal{P}_2 : z=4z = 4.
  2. P1\mathcal{P}_1 et le plan P3\mathcal{P}_3 : −6x+2y+z=1-6x + 2y + z = 1 sont-ils parallèles ? perpendiculaires ?
  3. Le plan P4\mathcal{P}_4 : x+2y−2z+3=0x + 2y - 2z + 3 = 0 et le plan P1\mathcal{P}_1 sont-ils perpendiculaires ?
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  1. P1\mathcal{P}_1 : n⃗1(3−10)\vec n_1\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix} ; points (0 ; 2 ; 0)(0\,;\,2\,;\,0) et (0 ; 2 ; 5)(0\,;\,2\,;\,5) (la cote est libre : le plan est parallèle à l’axe (Oz)(Oz)). P2\mathcal{P}_2 : n⃗2(001)\vec n_2\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} ; points (0 ; 0 ; 4)(0\,;\,0\,;\,4) et (1 ; 2 ; 4)(1\,;\,2\,;\,4).
  2. n⃗3(−621)\vec n_3\begin{pmatrix}-6\\2\\1\end{pmatrix} n’est pas colinéaire à n⃗1\vec n_1 (troisième coordonnée) : pas parallèles. n⃗1⋅n⃗3=−18−2+0=−20≠0\vec n_1 \cdot \vec n_3 = -18 - 2 + 0 = -20 \neq 0 : pas perpendiculaires.
  3. n⃗4(12−2)\vec n_4\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix} : n⃗1⋅n⃗4=3−2+0=1≠0\vec n_1 \cdot \vec n_4 = 3 - 2 + 0 = 1 \neq 0 : non.

3. Intersections : traduire par des systèmes

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Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Soit P\mathcal{P} : 2x+y−z+1=02x + y - z + 1 = 0, dd : x=1+tx = 1 + t, y=2−ty = 2 - t, z=3tz = 3t et d′d' : x=sx = s, y=−sy = -s, z=sz = s (t,s∈Rt, s \in \mathbb{R}).

  1. Détermine l’intersection de dd et de P\mathcal{P}.
  2. Montre que d′d' est strictement parallèle à P\mathcal{P}.
  3. Les droites dd et d′d' sont-elles sécantes ?
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  1. 2(1+t)+(2−t)−3t+1=0  ⟺  5−2t=0  ⟺  t=522(1 + t) + (2 - t) - 3t + 1 = 0 \iff 5 - 2t = 0 \iff t = \dfrac52. Point (72 ; −12 ; 152)\left(\dfrac72\,;\,-\dfrac12\,;\,\dfrac{15}2\right).
  2. En substituant : 2s−s−s+1=1=02s - s - s + 1 = 1 = 0 : impossible, aucune solution. (En effet u⃗′(1−11)\vec u'\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} vérifie u⃗′⋅n⃗=2−1−1=0\vec u' \cdot \vec n = 2 - 1 - 1 = 0.)
  3. 1+t=s1 + t = s, 2−t=−s2 - t = -s, 3t=s3t = s. Les deux premières donnent, en ajoutant : 3=03 = 0. Impossible : pas de point commun. Les vecteurs directeurs (1−13)\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix} et (1−11)\begin{pmatrix}1\\-1\\1\end{pmatrix} ne sont pas colinéaires : les droites sont non coplanaires.

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

  1. Étudie la position relative des droites d1d_1 : x=1+tx = 1 + t, y=2ty = 2t, z=−1+tz = -1 + t et d2d_2 : x=3+sx = 3 + s, y=1−sy = 1 - s, z=2sz = 2s.
  2. Montre que les plans P\mathcal{P} : x+y−z=1x + y - z = 1 et Q\mathcal{Q} : x−y+2z=3x - y + 2z = 3 sont sécants et donne une représentation paramétrique de leur droite d’intersection. Vérifie qu’un vecteur directeur de cette droite est orthogonal aux deux vecteurs normaux.
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  1. Vecteurs directeurs (121)\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix} et (1−12)\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} non colinéaires. Système : 1+t=3+s1 + t = 3 + s, 2t=1−s2t = 1 - s, −1+t=2s-1 + t = 2s. Des deux premières : t=2+st = 2 + s, puis 4+2s=1−s4 + 2s = 1 - s, s=−1s = -1, t=1t = 1. Troisième : −1+1=0-1 + 1 = 0 et 2s=−22s = -2 : faux. Aucun point commun : droites non coplanaires.
  2. Voir l’exemple du cours : x=2−sx = 2 - s, y=−1+3sy = -1 + 3s, z=2sz = 2s. Vecteur directeur w⃗(−132)\vec w\begin{pmatrix}-1\\3\\2\end{pmatrix} : w⃗⋅(11−1)=−1+3−2=0\vec w \cdot \begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} = -1 + 3 - 2 = 0 et w⃗⋅(1−12)=−1−3+4=0\vec w \cdot \begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix} = -1 - 3 + 4 = 0. ✓

4. Projeté orthogonal sur un plan et distance

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Soit P\mathcal{P} : x−2y+2z+4=0x - 2y + 2z + 4 = 0 et M(2 ; −1 ; 3)M(2\,;\,-1\,;\,3).

  1. Donne une représentation paramétrique de la droite Δ\Delta passant par MM et orthogonale à P\mathcal{P}.
  2. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal HH de MM sur P\mathcal{P}.
  3. Calcule la distance du point MM au plan P\mathcal{P}.
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  1. n⃗(1−22)\vec n\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} : x=2+tx = 2 + t, y=−1−2ty = -1 - 2t, z=3+2tz = 3 + 2t.
  2. (2+t)−2(−1−2t)+2(3+2t)+4=0  ⟺  14+9t=0  ⟺  t=−149(2 + t) - 2(-1 - 2t) + 2(3 + 2t) + 4 = 0 \iff 14 + 9t = 0 \iff t = -\dfrac{14}{9}. H(49 ; 199 ; −19)H\left(\dfrac49\,;\,\dfrac{19}9\,;\,-\dfrac19\right).
  3. MH=∣t∣×∥n⃗∥=149×3=143MH = |t| \times \|\vec n\| = \dfrac{14}{9} \times 3 = \dfrac{14}{3}.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On donne A(1 ; 0 ; 0)A(1\,;\,0\,;\,0), B(0 ; 2 ; 0)B(0\,;\,2\,;\,0), C(0 ; 0 ; 3)C(0\,;\,0\,;\,3) et le plan (ABC)(ABC).

  1. Montre que 6x+3y+2z−6=06x + 3y + 2z - 6 = 0 est une équation du plan (ABC)(ABC).
  2. Détermine le projeté orthogonal HH de l’origine OO sur (ABC)(ABC) et la distance OHOH.
  3. Calcule le volume du tétraèdre OABCOABC, puis déduis-en l’aire du triangle ABCABC.
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  1. AA : 6−6=06 - 6 = 0 ✓ ; BB : 6−6=06 - 6 = 0 ✓ ; CC : 6−6=06 - 6 = 0 ✓ (et AA, BB, CC ne sont pas alignés).
  2. Δ\Delta : x=6tx = 6t, y=3ty = 3t, z=2tz = 2t. 36t+9t+4t−6=0  ⟺  t=64936t + 9t + 4t - 6 = 0 \iff t = \dfrac{6}{49}. H(3649 ; 1849 ; 1249)H\left(\dfrac{36}{49}\,;\,\dfrac{18}{49}\,;\,\dfrac{12}{49}\right) et OH=649×36+9+4=649×7=67OH = \dfrac{6}{49} \times \sqrt{36 + 9 + 4} = \dfrac{6}{49} \times 7 = \dfrac67.
  3. V=13×1×22×3=1V = \dfrac13 \times \dfrac{1 \times 2}{2} \times 3 = 1. V=13AABC×OHV = \dfrac13 \mathcal{A}_{ABC} \times OH donne AABC=36/7=72\mathcal{A}_{ABC} = \dfrac{3}{6/7} = \dfrac72.