Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale

Ce que tu sais déjà. Tu sais utiliser des arbres pondérés, les probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales et l’indépendance (Seconde — Probabilités conditionnelles, Première — Probabilités conditionnelles et indépendance), ainsi que les variables aléatoires, l’espérance et la variance (Première — Variables aléatoires). En Première, tu as répété jusqu’à 4 épreuves de Bernoulli avec un arbre ; les coefficients binomiaux (Terminale — Dénombrement) permettent maintenant de traiter n’importe quel nombre de répétitions.

1. Succession d’épreuves indépendantes

Modèle. On répète des épreuves aléatoires indépendantes les unes des autres (le résultat de l’une n’influence pas les autres). Une issue de l’expérience globale est une liste $(x_1, x_2, \dots, x_n)$ de résultats : c’est un élément du produit cartésien des univers. Dans ce modèle, $$P\big((x_1, x_2, \dots, x_n)\big) = P(x_1) \times P(x_2) \times \dots \times P(x_n).$$ Sur un arbre, on multiplie les probabilités le long d’un chemin (et les branches de niveau 2 sont les mêmes quel que soit le résultat de niveau 1).

Exemple. On tire une boule dans une urne contenant 3 rouges et 2 vertes, puis on lance un dé équilibré. Les deux épreuves sont indépendantes : $P(\text{rouge et } 6) = \dfrac35 \times \dfrac16 = \dfrac1{10}$.

Contre-exemple. Tirer successivement sans remise deux boules de l’urne : la composition change après le premier tirage, les épreuves ne sont pas indépendantes (il faut des probabilités conditionnelles).

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Épreuve et loi de Bernoulli

Définition. Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues, appelées succès ($S$) et échec ($\overline S$). On note $p$ la probabilité du succès, $1 - p$ celle de l’échec.

Définition. La variable aléatoire $X$ qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$ :

Propriété. $E(X) = p$ et $V(X) = p(1 - p)$.

Justification. $E(X) = 0 \times (1 - p) + 1 \times p = p$ ; par König-Huygens, $V(X) = E(X^2) - E(X)^2 = p - p^2 = p(1 - p)$ (car $X^2 = X$).

Exemple. Un joueur de basket réussit un lancer franc avec une probabilité de $0{,}8$. Un lancer est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}8$ ; la variable « nombre de paniers sur un lancer » a pour espérance $0{,}8$ et pour variance $0{,}16$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définition. Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ est la répétition de $n$ épreuves de Bernoulli identiques (même $p$) et indépendantes.

Définition. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $\mathcal{B}(n, p)$. Elle prend les valeurs $0, 1, \dots, n$.

Théorème. Si $X$ suit la loi $\mathcal{B}(n, p)$, alors pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ : $$P(X = k) = \binom nk\,p^k\,(1 - p)^{n - k}.$$

Propriété (admise ici, démontrée au chapitre suivant). Si $X$ suit $\mathcal{B}(n, p)$ : $E(X) = np$ et $V(X) = np(1 - p)$.

Exemple. Un QCM comporte 10 questions à 4 réponses dont une seule juste ; un élève répond au hasard. Le nombre $X$ de bonnes réponses suit $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$ (10 épreuves identiques et indépendantes, succès = « réponse juste »).

• $P(X = 5) = \dbinom{10}{5} \times 0{,}25^5 \times 0{,}75^5 \approx 0{,}058$.
• $P(X \geqslant 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}75^{10} \approx 0{,}944$.
• $E(X) = 10 \times 0{,}25 = 2{,}5$ : en moyenne, $2{,}5$ bonnes réponses.

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Calculer avec la loi binomiale

À la calculatrice. Les calculatrices donnent directement $P(X = k)$ (« binomFdp », « BinomialPD ») et la fonction de répartition $P(X \leqslant k)$ (« binomFRép », « BinomialCD »). On en déduit :

• $P(X \geqslant k) = 1 - P(X \leqslant k - 1)$ ;
• $P(a \leqslant X \leqslant b) = P(X \leqslant b) - P(X \leqslant a - 1)$.

En Python.

from math import comb

def binom_pdf(n, p, k):
    """P(X = k) pour X de loi B(n, p)."""
    return comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k)

def binom_cdf(n, p, k):
    """P(X <= k)."""
    return sum(binom_pdf(n, p, i) for i in range(k + 1))

print(round(binom_pdf(10, 0.25, 5), 4))       # 0.0584
print(round(1 - binom_cdf(10, 0.25, 4), 4))   # 0.0781 : P(X >= 5)

→ S’entraîner : Exercice 5 · Exercice 6

5. Problèmes de seuil et d’intervalle

Exemple (surréservation). Un avion a 200 places ; chaque passager ayant réservé se présente avec une probabilité de $0{,}93$, indépendamment des autres. La compagnie vend $n$ billets. Le nombre de passagers qui se présentent suit $\mathcal{B}(n\,;\,0{,}93)$, et il y a surréservation si plus de 200 se présentent. Pour $n = 205$, ce risque vaut environ $0{,}001$ ; pour $n = 209$, environ $0{,}04$ ; pour $n = 210$, environ $0{,}07$. Si la compagnie accepte un risque de $5\,\%$, elle peut vendre jusqu’à $209$ billets.

Simulation. La planche de Galton : une bille rebondit sur $n$ rangées de clous et part à droite avec la probabilité $p$ ; le numéro de la case d’arrivée suit $\mathcal{B}(n, p)$.

from random import random

def galton(n, p):
    """Numéro de la case d'arrivée (nombre de rebonds à droite)."""
    case = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            case = case + 1
    return case

cases = [0] * 11
for bille in range(10000):
    cases[galton(10, 0.5)] += 1
print(cases)   # les cases du milieu sont les plus remplies

→ S’entraîner : Exercice 7 · Exercice 8 · Exercice 9

À retenir.

• Épreuves indépendantes : on multiplie les probabilités le long d’un chemin.
• Bernoulli : deux issues, $E = p$, $V = p(1 - p)$.
• $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ = nombre de succès sur $n$ épreuves identiques et indépendantes : $P(X = k) = \dbinom nk p^k(1-p)^{n-k}$ ; $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$.
• $P(X \geqslant 1) = 1 - (1-p)^n$ ; seuils avec $\ln$ ; intervalles avec la fonction de répartition.