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Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite. Les résultats approchés sont à donner à $10^{-3}$ près.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

$\dbinom{4}{2}$ ?
Espérance d'une variable de Bernoulli de paramètre $0{,}3$ ?
Si $X \sim \mathcal{B}(12\,;\,0{,}5)$ , que vaut $E(X)$ ?
Si $X \sim \mathcal{B}(3\,;\,p)$ , que vaut $P(X = 3)$ ?
Si $X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)$ , exprime $P(X \geqslant 1)$ .
Calcule $0{,}5^3$ .
Écris $P(X \geqslant 4)$ à l'aide de $P(X \leqslant 3)$ .
Deux épreuves indépendantes de probabilités de succès $0{,}5$ et $0{,}2$ : probabilité de deux succès ?

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$6$ .
$0{,}3$ .
$6$ .
$p^3$ .
$1 - (1 - p)^n$ .
$0{,}125$ .
$P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 3)$ .
$0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}1$ .

Exercice 2 (5 points) — Contrôle qualité

Une machine produit des pièces dont $5\,\%$ sont défectueuses. On prélève 20 pièces, le prélèvement étant assimilé à un tirage avec remise. $X$ est le nombre de pièces défectueuses.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale ; précise ses paramètres. (1 point)
Calcule $P(X = 0)$ et $P(X = 1)$ . (1,5 point)
Calcule la probabilité qu'au plus 2 pièces soient défectueuses. (1,5 point)
Calcule $E(X)$ et interprète. (1 point)

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20 épreuves identiques et indépendantes (tirage avec remise), deux issues : « défectueuse » (succès, $p = 0{,}05$ ) ou non. $X \sim \mathcal{B}(20\,;\,0{,}05)$ .
$P(X = 0) = 0{,}95^{20} \approx 0{,}358$ ; $P(X = 1) = 20 \times 0{,}05 \times 0{,}95^{19} \approx 0{,}377$ .
$P(X \leqslant 2) \approx 0{,}925$ .
$E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1$ : en moyenne, une pièce défectueuse par lot de 20.

Exercice 3 (4 points) — Démonstration de cours

$X$ compte le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ . Démontre que, pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ , $P(X = k) = \dbinom nk p^k(1 - p)^{n-k}$ , en expliquant d'où viennent chacun des facteurs.

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L'événement $\{X = k\}$ est la réunion des issues comportant $k$ succès et $n - k$ échecs, qui sont incompatibles deux à deux. Chacune a pour probabilité $p^k(1 - p)^{n-k}$ : par indépendance, on multiplie $k$ fois $p$ et $n - k$ fois $1 - p$ . Une telle issue est déterminée par le choix des $k$ positions des succès parmi les $n$ épreuves : il y en a $\dbinom nk$ . On additionne : $P(X = k) = \dbinom nk p^k(1 - p)^{n-k}$ .

Exercice 4 (7 points) — Tir à l'arc

Un archer atteint la cible avec une probabilité de $0{,}7$ à chaque tir, les tirs étant indépendants.

Il tire 10 flèches ; $X$ est le nombre de flèches dans la cible. Donne la loi de $X$ . (1 point)
Calcule $P(X = 7)$ et $P(X \geqslant 8)$ . (2 points)
Calcule $E(X)$ et $V(X)$ . (1 point)
Combien de flèches doit-il tirer au minimum pour que la probabilité d'atteindre la cible au moins une fois dépasse $0{,}999$ ? (3 points)

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$X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}7)$ .
$P(X = 7) = \dbinom{10}{7} \times 0{,}7^7 \times 0{,}3^3 \approx 0{,}267$ ; $P(X \geqslant 8) = 1 - P(X \leqslant 7) \approx 0{,}383$ .
$E(X) = 7$ ; $V(X) = 10 \times 0{,}7 \times 0{,}3 = 2{,}1$ .
Avec $n$ flèches : $P(\text{au moins un succès}) = 1 - 0{,}3^n$ . $1 - 0{,}3^n > 0{,}999 \iff 0{,}3^n < 0{,}001 \iff n > \dfrac{\ln 0{,}001}{\ln 0{,}3} \approx 5{,}74$ (division par $\ln 0{,}3 < 0$ ). Il faut au moins $6$ flèches (vérification : $0{,}3^5 \approx 0{,}0024$ , $0{,}3^6 \approx 0{,}000\,73$ ).