Terminale

Succession d'épreuves indépendantes, loi binomiale — Exercices d'application

1. Succession d’épreuves indépendantes

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Exercice 1 — ⭐

Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules vertes.

On tire une boule, puis on lance un dé équilibré. Calcule la probabilité d’obtenir une boule verte et un nombre pair.
On tire successivement deux boules avec remise. Calcule la probabilité d’obtenir deux boules rouges.
Même question sans remise. Les deux tirages sont-ils indépendants ?

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Épreuves indépendantes : $\dfrac25 \times \dfrac12 = \dfrac15$ .
Avec remise, les tirages sont indépendants et identiques : $\dfrac35 \times \dfrac35 = \dfrac{9}{25}$ .
Sans remise : $\dfrac35 \times \dfrac24 = \dfrac{3}{10}$ . La probabilité de « rouge » au second tirage dépend du premier ( $\dfrac24$ ou $\dfrac34$ ) : les tirages ne sont pas indépendants.

2. Épreuve et loi de Bernoulli

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Exercice 2 — ⭐

On lance un dé équilibré et on appelle succès l’événement « obtenir 6 ». On note $X$ la variable qui vaut $1$ en cas de succès et $0$ sinon.

Quelle est la loi de $X$ ? Donne son tableau.
Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .

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$X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p = \dfrac16$ : $P(X = 0) = \dfrac56$ , $P(X = 1) = \dfrac16$ .
$E(X) = \dfrac16$ ; $V(X) = \dfrac16 \times \dfrac56 = \dfrac{5}{36}$ .

3. Schéma de Bernoulli et loi binomiale

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Exercice 3 — ⭐⭐

Dans chaque cas, dis si $X$ suit une loi binomiale ; si oui, donne ses paramètres.

On lance 8 fois une pièce équilibrée ; $X$ est le nombre de « pile ».
On tire simultanément 5 cartes d’un jeu de 32 ; $X$ est le nombre de cœurs.
Un traitement est efficace dans $85\,\%$ des cas ; on le donne à 30 patients, dont les réactions sont supposées indépendantes ; $X$ est le nombre de patients guéris.
On lance un dé jusqu’à obtenir un 6 ; $X$ est le nombre de lancers.

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Oui : $\mathcal{B}(8\,;\,0{,}5)$ .
Non : tirage sans remise, les « épreuves » ne sont ni indépendantes ni identiques.
Oui : $\mathcal{B}(30\,;\,0{,}85)$ .
Non : le nombre d’épreuves n’est pas fixé à l’avance ( $X$ n’est pas un nombre de succès sur $n$ épreuves).

Exercice 4 — ⭐⭐

$X$ suit la loi $\mathcal{B}(5\,;\,0{,}4)$ . Calcule, avec la formule du cours :

$P(X = 2)$
$P(X = 0)$ puis $P(X \geqslant 1)$
$E(X)$ et $V(X)$

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$\dbinom52 \times 0{,}4^2 \times 0{,}6^3 = 10 \times 0{,}16 \times 0{,}216 = 0{,}345\,6$ .
$P(X = 0) = 0{,}6^5 = 0{,}077\,76$ ; $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}077\,76 = 0{,}922\,24$ .
$E(X) = 5 \times 0{,}4 = 2$ ; $V(X) = 5 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 1{,}2$ .

4. Calculer avec la loi binomiale

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Exercice 5 — ⭐⭐

Dans un grand lot de graines, $10\,\%$ ne germent pas. On sème 50 graines, et on assimile le semis à un tirage avec remise. $X$ est le nombre de graines qui ne germent pas.

Justifie que $X$ suit une loi binomiale et donne ses paramètres.
À la calculatrice, donne à $10^{-3}$ près : $P(X \leqslant 3)$ , $P(X \geqslant 8)$ et $P(3 \leqslant X \leqslant 7)$ .
Calcule $E(X)$ et l’écart type $\sigma(X)$ ; interprète $E(X)$ .

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50 épreuves identiques et indépendantes à deux issues (« ne germe pas » avec probabilité $0{,}1$ ) : $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}1)$ .
$P(X \leqslant 3) \approx 0{,}250$ ; $P(X \geqslant 8) = 1 - P(X \leqslant 7) \approx 0{,}122$ ; $P(3 \leqslant X \leqslant 7) = P(X \leqslant 7) - P(X \leqslant 2) \approx 0{,}766$ .
$E(X) = 5$ : en moyenne, 5 graines sur 50 ne germent pas. $V(X) = 4{,}5$ , $\sigma(X) = \sqrt{4{,}5} \approx 2{,}12$ .

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 4$ et $p$ .

Combien de chemins de l’arbre comportent exactement 2 succès ? Écris-les tous (avec $S$ et $E$ ).
Quelle est la probabilité de chacun de ces chemins ? En déduire $P(X = 2)$ .
Calcule $P(X = 2)$ pour $p = \dfrac12$ et pour $p = \dfrac13$ .

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$\dbinom42 = 6$ chemins : $SSEE$ , $SESE$ , $SEES$ , $ESSE$ , $ESES$ , $EESS$ .
Chacun a pour probabilité $p^2(1 - p)^2$ (indépendance). Donc $P(X = 2) = 6p^2(1 - p)^2$ .
$p = \dfrac12$ : $6 \times \dfrac1{16} = \dfrac38$ . $p = \dfrac13$ : $6 \times \dfrac19 \times \dfrac49 = \dfrac{24}{81} = \dfrac{8}{27}$ .

5. Problèmes de seuil et d’intervalle

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Exercice 7 — ⭐⭐⭐

À une tombola, chaque ticket est gagnant avec une probabilité de $0{,}05$ , indépendamment des autres.

On achète 10 tickets. Quelle est la probabilité d’avoir au moins un ticket gagnant ?
Combien de tickets faut-il acheter au minimum pour que la probabilité d’avoir au moins un ticket gagnant dépasse $0{,}9$ ?

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$X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}05)$ : $P(X \geqslant 1) = 1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}401$ .
$1 - 0{,}95^n \geqslant 0{,}9 \iff 0{,}95^n \leqslant 0{,}1 \iff n\ln 0{,}95 \leqslant \ln 0{,}1 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 0{,}1}{\ln 0{,}95} \approx 44{,}9$ (on divise par $\ln 0{,}95 < 0$ ). Il faut au moins $45$ tickets.

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On lance 100 fois une pièce supposée équilibrée ; $X$ est le nombre de « pile ».

Quelle est la loi de $X$ ? Son espérance ?
À la calculatrice, montre que $P(40 \leqslant X \leqslant 60) \geqslant 0{,}95$ et que $P(41 \leqslant X \leqslant 59) < 0{,}95$ .
Sur 100 lancers, Léa obtient 36 « pile ». Que peut-on penser de l’hypothèse « la pièce est équilibrée » ?

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$X \sim \mathcal{B}(100\,;\,0{,}5)$ , $E(X) = 50$ .
$P(40 \leqslant X \leqslant 60) = P(X \leqslant 60) - P(X \leqslant 39) \approx 0{,}965$ ; $P(41 \leqslant X \leqslant 59) \approx 0{,}943$ .
Si la pièce est équilibrée, $X$ tombe dans $[40\,;\,60]$ avec une probabilité d’environ $96{,}5\,\%$ . Or $36 \notin [40\,;\,60]$ ; de plus, $P(X \leqslant 36) \approx 0{,}003$ : un résultat aussi faible est très improbable. On peut douter que la pièce soit équilibrée (avec un faible risque de se tromper).

Exercice 9 — ⭐⭐

Écris une fonction Python simule(n, p) qui simule un schéma de Bernoulli et renvoie le nombre de succès.
Utilise-la pour estimer $P(X \geqslant 5)$ lorsque $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$ , avec $10\,000$ simulations. Compare avec la valeur exacte du cours.

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from random import random

def simule(n, p):
    succes = 0
    for i in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes

N = 10000
compte = sum(1 for k in range(N) if simule(10, 0.25) >= 5)
print(compte / N)   # environ 0.078 (valeur exacte : 0.0781)

La fréquence obtenue fluctue autour de $0{,}078$ d’une exécution à l’autre ; elle se rapproche de la probabilité quand le nombre de simulations augmente (loi des grands nombres, voir Concentration).