Raisonnement par récurrence et suites — Exercices d'application

1. a. $(-1)^n$ vaut $1$ ou $-1$, donc $4 \leqslant a_n \leqslant 6$ : la suite est bornée. b. $b_n \geqslant -7$ pour tout $n$ ($2n \geqslant 0$) : minorée par $-7$. Elle n’est pas majorée : pour tout réel $M$, dès que $n > \dfrac{M + 7}{2}$, on a $b_n > M$. c. Pour tout $n$, $0 < \dfrac{1}{n+2} \leqslant \dfrac12$, donc $1 < c_n \leqslant 1{,}5$ : bornée.
2. Dans la définition, le même $M$ doit convenir pour tous les termes : « il existe $M$ tel que pour tout $n$, $b_n \leqslant M$ ». L’élève a inversé les quantificateurs : son $M$ change avec $n$, ce qui ne prouve rien (n’importe quelle suite vérifie sa phrase).

1. $u_1 = 3 \times 2 - 2 = 4$, $u_2 = 10$, $u_3 = 28$. On remarque $4 = 3 + 1$, $10 = 9 + 1$, $28 = 27 + 1$ : on conjecture $u_n = 3^n + 1$ (et $u_0 = 1 + 1 = 2$ convient).
2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n = 3^n + 1$ ».
   • Initialisation : $u_0 = 2$ et $3^0 + 1 = 2$ : $\mathcal{P}(0)$ est vraie.
   • Hérédité : soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $u_k = 3^k + 1$. Alors $u_{k+1} = 3u_k - 2 = 3(3^k + 1) - 2 = 3^{k+1} + 3 - 2 = 3^{k+1} + 1$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.
   • Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_n = 3^n + 1$.
3. $u_{10} = 3^{10} + 1 = 59\,049 + 1 = 59\,050$.

Pour $n \geqslant 1$, $\mathcal{P}(n)$ : « $1^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ ».

• Initialisation : pour $n = 1$, le membre de gauche vaut $1$ et $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = 1$.
• Hérédité : supposons $\mathcal{P}(k)$ vraie pour un entier $k \geqslant 1$. Alors $$1^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \dfrac{(k+1)\left[k(2k+1) + 6(k+1)\right]}{6} = \dfrac{(k+1)(2k^2 + 7k + 6)}{6}.$$ Or $(k + 2)(2k + 3) = 2k^2 + 7k + 6$, donc la somme vaut $\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$, qui est bien $\dfrac{(k+1)\left((k+1)+1\right)\left(2(k+1)+1\right)}{6}$ : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.
• Conclusion : la formule est vraie pour tout $n \geqslant 1$.

Pour $n = 20$ : $\dfrac{20 \times 21 \times 41}{6} = 2\,870$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, $\mathcal{P}(n)$ : « il existe un entier $m$ tel que $7^n - 1 = 6m$ ».

• Initialisation : $7^0 - 1 = 0 = 6 \times 0$.
• Hérédité : supposons $7^k - 1 = 6m$ avec $m$ entier, donc $7^k = 6m + 1$. Alors $7^{k+1} - 1 = 7(6m + 1) - 1 = 42m + 6 = 6(7m + 1)$, et $7m + 1$ est un entier : $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.
• Conclusion : $7^n - 1$ est divisible par $6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

1. Si $10^k + 1 = 9m$ ($m$ entier), alors $10^k = 9m - 1$ et $10^{k+1} + 1 = 10(9m - 1) + 1 = 90m - 9 = 9(10m - 1)$ : la propriété est héréditaire.
2. Non ! Il manque l’initialisation : $10^0 + 1 = 2$, $10^1 + 1 = 11$, $10^2 + 1 = 101$ ne sont pas divisibles par $9$.
3. Pour $n \geqslant 1$, $10^n + 1 = 100\dots01$ a une somme de chiffres égale à $2$, qui n’est pas divisible par $9$ (et pour $n = 0$, on obtient $2$). La propriété est héréditaire mais toujours fausse : l’hérédité seule ne démontre rien.

1. Initialisation : $3^0 = 1 \geqslant 1$. Hérédité : si $3^k \geqslant 2k + 1$, alors $3^{k+1} = 3 \times 3^k \geqslant 6k + 3$ (on multiplie par $3 > 0$). Or $6k + 3 \geqslant 2(k + 1) + 1 = 2k + 3$ car $4k \geqslant 0$. Donc $3^{k+1} \geqslant 2(k+1) + 1$. Conclusion : vrai pour tout $n \in \mathbb{N}$. (On peut aussi appliquer Bernoulli avec $a = 2$ : $(1 + 2)^n \geqslant 1 + 2n$.)
2. a. $1 \geqslant 0$ ; $2 \geqslant 1$ ; $4 \geqslant 4$ ; $8 < 9$ ; $16 \geqslant 16$. b. Initialisation : $n = 4$, vu en a. Hérédité : soit $k \geqslant 4$ tel que $2^k \geqslant k^2$. Alors $2^{k+1} \geqslant 2k^2$. Et $2k^2 - (k+1)^2 = k^2 - 2k - 1 = (k - 1)^2 - 2 \geqslant 3^2 - 2 > 0$ pour $k \geqslant 4$. Donc $2^{k+1} \geqslant (k + 1)^2$. Conclusion : vrai pour tout $n \geqslant 4$.

1. $4 - \dfrac{10}{x+3} = \dfrac{4x + 12 - 10}{x + 3} = \dfrac{4x + 2}{x + 3}$. $f'(x) = \dfrac{10}{(x+3)^2} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $]-3\,;\,+\infty[$.
2. $f(1) = \dfrac{6}{4} = 1{,}5$ ; $f(2) = \dfrac{10}{5} = 2$.
3. $\mathcal{P}(n)$ : « $1 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 2$ ».
   • Initialisation : $u_0 = 1$, $u_1 = f(1) = 1{,}5$ : $1 \leqslant 1 \leqslant 1{,}5 \leqslant 2$.
   • Hérédité : si $1 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 2$, comme $f$ est croissante sur $[1\,;\,2]$, $f(1) \leqslant f(u_k) \leqslant f(u_{k+1}) \leqslant f(2)$, soit $1{,}5 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 2$, donc $1 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 2$.
   • Conclusion : vrai pour tout $n$.
4. La suite est croissante et bornée (entre $1$ et $2$).

1. $f(x) = 0{,}8x + 40$ est croissante ; $f(100) = 120$, $f(200) = 200$. Initialisation : $v_0 = 100$, $v_1 = 120$ : $100 \leqslant 100 \leqslant 120 \leqslant 200$. Hérédité : si $100 \leqslant v_k \leqslant v_{k+1} \leqslant 200$, alors $f(100) \leqslant v_{k+1} \leqslant v_{k+2} \leqslant f(200)$, soit $120 \leqslant v_{k+1} \leqslant v_{k+2} \leqslant 200$. Conclusion : vrai pour tout $n$.
2. Initialisation : $200 - 100 \times 1 = 100 = v_0$. Hérédité : si $v_k = 200 - 100 \times 0{,}8^k$, alors $v_{k+1} = 0{,}8(200 - 100 \times 0{,}8^k) + 40 = 160 - 100 \times 0{,}8^{k+1} + 40 = 200 - 100 \times 0{,}8^{k+1}$.
3. Condition v <= 190, mise à jour v = 0.8 * v + 40. La fonction renvoie 11 : $v_{10} \approx 189{,}3$ et $v_{11} \approx 191{,}4$.

def annee():
    n = 0
    v = 100
    while v <= 190:
        v = 0.8 * v + 40
        n = n + 1
    return n

print(annee())  # 11