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Raisonnement par récurrence et suites — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

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Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .

Calcule $u_1$ , $u_2$ et $u_3$ . (1 point)
Démontre par récurrence que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = 2^{n+2} - 3$ . (3 points)
Calcule $u_8$ . (1 point)

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$u_1 = 5$ , $u_2 = 13$ , $u_3 = 29$ .
$\mathcal{P}(n)$ $P (n)$ : « $u_n = 2^{n+2} - 3$ $u_{n} = 2^{n + 2} - 3$ ».
- Initialisation : $2^{2} - 3 = 1 = u_0$ .
- Hérédité : soit $k \in \mathbb{N}$ tel que $u_k = 2^{k+2} - 3$ . Alors $u_{k+1} = 2u_k + 3 = 2(2^{k+2} - 3) + 3 = 2^{k+3} - 6 + 3 = 2^{k+3} - 3 = 2^{(k+1)+2} - 3$ .
- Conclusion : pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = 2^{n+2} - 3$ .
$u_8 = 2^{10} - 3 = 1\,024 - 3 = 1\,021$ .

Démontre par récurrence que, pour tout entier $n \geqslant 1$ :

$1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}.$

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Initialisation : pour $n = 1$ , $1 \times 2 = 2$ et $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{3} = 2$ .
Hérédité : supposons la formule vraie pour un entier $k \geqslant 1$ . Alors $1 \times 2 + \dots + k(k+1) + (k+1)(k+2) = \dfrac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \dfrac{(k+1)(k+2)(k + 3)}{3},$ en mettant $(k+1)(k+2)$ en facteur : $\dfrac{k}{3} + 1 = \dfrac{k+3}{3}$ . C'est la formule au rang $k + 1$ .
Conclusion : la formule est vraie pour tout $n \geqslant 1$ .

Démontre que, pour tout entier naturel $n$ , $5^n - 1$ est divisible par $4$ .

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Initialisation : $5^0 - 1 = 0 = 4 \times 0$ .
Hérédité : si $5^k - 1 = 4m$ avec $m$ entier, alors $5^k = 4m + 1$ et $5^{k+1} - 1 = 5(4m + 1) - 1 = 20m + 4 = 4(5m + 1)$ , avec $5m + 1$ entier.
Conclusion : $5^n - 1$ est divisible par $4$ pour tout $n$ .

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ .

Justifie que la fonction $f : x \mapsto \sqrt{2x + 3}$ est croissante sur $[0\,;\,3]$ et calcule $f(3)$ . (1 point)
Démontre par récurrence que, pour tout $n$ , $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ . (2,5 points)
Que peut-on en déduire pour la suite $(u_n)$ ? (0,5 point)

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$x \mapsto 2x + 3$ est croissante et positive sur $[0\,;\,3]$ , et la racine carrée est croissante sur $[0\,;\,+\infty[$ : $f$ est croissante sur $[0\,;\,3]$ . $f(3) = \sqrt{9} = 3$ .
$\mathcal{P}(n)$ $P (n)$ : « $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant 3$ $0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 3$ ».
- Initialisation : $u_0 = 0$ , $u_1 = \sqrt3 \approx 1{,}73$ : $0 \leqslant 0 \leqslant \sqrt3 \leqslant 3$ .
- Hérédité : si $0 \leqslant u_k \leqslant u_{k+1} \leqslant 3$ , $f$ croissante sur $[0\,;\,3]$ donne $f(0) \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant f(3)$ , soit $\sqrt3 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 3$ , donc $0 \leqslant u_{k+1} \leqslant u_{k+2} \leqslant 3$ .
- Conclusion : vrai pour tout $n$ .
La suite est croissante et bornée par $0$ et $3$ (on verra au chapitre suivant qu'elle converge).