Terminale

Concentration et loi des grands nombres — Exercices d'application

1. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

↩ Revoir le cours

Exercice 1 — ⭐

Une variable aléatoire $X$ a pour espérance $20$ et pour écart type $2$ .

Majore $P(|X - 20| \geqslant 5)$ .
En déduire une minoration de $P(15 < X < 25)$ .

Voir le corrigé

$V = 4$ : $P(|X - 20| \geqslant 5) \leqslant \dfrac{4}{25} = 0{,}16$ .
L’événement $\{15 < X < 25\}$ est le contraire de $\{|X - 20| \geqslant 5\}$ : $P(15 < X < 25) \geqslant 1 - 0{,}16 = 0{,}84$ .

Exercice 2 — ⭐⭐

Montre que, pour toute variable aléatoire d’espérance $\mu$ et d’écart type $\sigma > 0$ , $P(|X - \mu| < 3\sigma) \geqslant \dfrac89$ .
La taille (en cm) des élèves d’un lycée a pour moyenne $170$ et pour écart type $8$ . Que peut-on affirmer sur la proportion d’élèves mesurant entre $146$ et $194$ cm (bornes exclues), sans rien savoir de plus sur la loi ?

Voir le corrigé

Avec $\delta = 3\sigma$ : $P(|X - \mu| \geqslant 3\sigma) \leqslant \dfrac{\sigma^2}{9\sigma^2} = \dfrac19$ , donc $P(|X - \mu| < 3\sigma) \geqslant 1 - \dfrac19 = \dfrac89$ .
$146 = 170 - 3 \times 8$ et $194 = 170 + 3 \times 8$ : au moins $\dfrac89 \approx 89\,\%$ des élèves mesurent entre $146$ et $194$ cm.

Exercice 3 — ⭐⭐

$X$ suit la loi $\mathcal{B}(200\,;\,0{,}4)$ .

Calcule $E(X)$ et $V(X)$ .
Majore $P(|X - 80| \geqslant 16)$ avec l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
À la calculatrice, calcule la valeur exacte de cette probabilité (à $10^{-3}$ près) et compare.

Voir le corrigé

$E(X) = 80$ , $V(X) = 200 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 48$ .
$P(|X - 80| \geqslant 16) \leqslant \dfrac{48}{256} = 0{,}187\,5$ .
$P(X \leqslant 64) + P(X \geqslant 96) \approx 0{,}025$ : la majoration est juste mais environ $7$ fois trop grande.

2. Inégalité de concentration

↩ Revoir le cours

Exercice 4 — ⭐⭐

On lance $400$ fois une pièce équilibrée ; $F$ est la fréquence de « pile ».

Justifie que $F$ est la moyenne d’un échantillon de taille $400$ de la loi de Bernoulli de paramètre $0{,}5$ .
Majore $P(|F - 0{,}5| \geqslant 0{,}1)$ et interprète.

Voir le corrigé

$X_i = 1$ si le $i$ -ème lancer donne pile, $0$ sinon : $X_i$ sont indépendantes, de loi de Bernoulli de paramètre $0{,}5$ , et $F = \dfrac{X_1 + \dots + X_{400}}{400} = M_{400}$ .
$V = 0{,}25$ : $P(|F - 0{,}5| \geqslant 0{,}1) \leqslant \dfrac{0{,}25}{400 \times 0{,}01} = 0{,}062\,5$ . La fréquence de pile est entre $0{,}4$ et $0{,}6$ (bornes exclues) avec une probabilité d’au moins $93{,}75\,\%$ .

3. Loi des grands nombres

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐

Vrai ou faux ? Justifie.

« À la roulette, le rouge est sorti 8 fois de suite : le noir a maintenant plus de chances de sortir. »
« Si on lance un dé un très grand nombre de fois, la fréquence des 6 sera très probablement proche de $\frac16$ . »
« Si on lance une pièce $10\,000$ fois, on obtiendra exactement $5\,000$ piles. »
« Plus l’échantillon est grand, plus la majoration de $P(|M_n - \mu| \geqslant 0{,}1)$ donnée par l’inégalité de concentration est petite. »

Voir le corrigé

Faux : les tirages sont indépendants, la probabilité du noir est la même à chaque tirage (erreur du joueur).
Vrai : c’est la loi des grands nombres.
Faux : c’est très improbable ( $P(X = 5\,000) \approx 0{,}008$ ). La loi des grands nombres porte sur la fréquence, qui sera très probablement proche de $0{,}5$ .
Vrai : la majoration $\dfrac{V}{n \times 0{,}01}$ est inversement proportionnelle à $n$ .

4. Déterminer une taille d’échantillon

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐⭐

On lance $n$ fois un dé équilibré. Détermine une valeur de $n$ qui garantit $P(|M_n - 3{,}5| \geqslant 0{,}2) \leqslant 0{,}1$ .
Un institut veut estimer une proportion à $0{,}02$ près avec un risque d’au plus $5\,\%$ . Combien de personnes suffit-il d’interroger ?
Par combien est multipliée la taille nécessaire quand on veut une précision deux fois meilleure ?

Voir le corrigé

$V = \dfrac{35}{12}$ . Il suffit que $\dfrac{35/12}{n \times 0{,}04} \leqslant 0{,}1$ , soit $n \geqslant \dfrac{35/12}{0{,}004} \approx 729{,}2$ : $n = 730$ convient.
$V \leqslant \dfrac14$ : il suffit que $n \geqslant \dfrac{0{,}25}{0{,}05 \times 0{,}02^2} = 12\,500$ .
$n \geqslant \dfrac{V}{\alpha\delta^2}$ : diviser $\delta$ par $2$ multiplie la borne par $4$ .

5. Explorer avec Python

↩ Revoir le cours

Exercice 7 — ⭐⭐

Écris une fonction frequence(n) qui simule $n$ lancers d’un dé et renvoie la fréquence des 6.
Affiche frequence(n) pour $n = 10$ , $100$ , $1\,000$ , $10\,000$ , $100\,000$ . Que constates-tu ?

Voir le corrigé

from random import randint

def frequence(n):
    six = 0
    for i in range(n):
        if randint(1, 6) == 6:
            six = six + 1
    return six / n

for n in [10, 100, 1000, 10000, 100000]:
    print(n, frequence(n))

Les fréquences varient d’une exécution à l’autre, beaucoup pour $n = 10$ (par exemple $0{,}3$ ou $0$ ), puis de moins en moins : pour $n = 100\,000$ , on obtient presque toujours une valeur entre $0{,}164$ et $0{,}169$ , proche de $\frac16 \approx 0{,}1667$ .

Exercice 8 — ⭐⭐⭐

On reprend la marche aléatoire du cours : $X_n$ est la position après $n$ pas de $\pm 1$ .

Calcule $E(X_n)$ et $V(X_n)$ .
Majore $P(|X_n| \geqslant 3\sqrt n)$ .
Majore $P\left(\left|\dfrac{X_n}{n}\right| \geqslant 0{,}01\right)$ pour $n = 10^6$ . Interprète.

Voir le corrigé

Chaque pas $Y_i$ vaut $\pm 1$ avec probabilité $\frac12$ : $E(Y_i) = 0$ , $V(Y_i) = E(Y_i^2) = 1$ . Les pas sont indépendants : $E(X_n) = 0$ , $V(X_n) = n$ .
Bienaymé-Tchebychev : $P(|X_n| \geqslant 3\sqrt n) \leqslant \dfrac{n}{9n} = \dfrac19$ .
$\dfrac{X_n}{n} = M_n$ a pour variance $\dfrac1n$ : $P(|M_n| \geqslant 0{,}01) \leqslant \dfrac{1}{10^6 \times 10^{-4}} = 0{,}01$ . Après un million de pas, le déplacement moyen par pas est inférieur à $0{,}01$ en valeur absolue avec une probabilité d’au moins $99\,\%$ , même si la position elle-même est typiquement de l’ordre de $\sqrt{10^6} = 1\,000$ .