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Concentration et loi des grands nombres — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement, sans justification (0,5 point par question).

Énonce l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.
Si $V(X) = 9$ , majore $P(|X - \mu| \geqslant 6)$ .
$V(M_n)$ en fonction de $V$ et $n$ ?
Maximum de $p(1 - p)$ pour $p \in [0\,;\,1]$ ?
Calcule $\dfrac{0{,}25}{100 \times 0{,}01}$ .
Si $X \sim \mathcal{B}(50\,;\,0{,}2)$ , que vaut $V(X)$ ?
$P(|X - \mu| < \delta) = 1 - \dots$ ?
Vers quoi tend la fréquence d'un événement quand on répète l'expérience un grand nombre de fois ?

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Pour tout $\delta > 0$ , $P(|X - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V(X)}{\delta^2}$ .
$\dfrac{9}{36} = 0{,}25$ .
$\dfrac Vn$ .
$\dfrac14$ (atteint en $p = \frac12$ ).
$0{,}25$ .
$50 \times 0{,}2 \times 0{,}8 = 8$ .
$1 - P(|X - \mu| \geqslant \delta)$ .
Vers sa probabilité.

Exercice 2 (5 points) — Bienaymé-Tchebychev

Le nombre de clients d'une boulangerie un samedi est une variable aléatoire $X$ d'espérance $300$ et d'écart type $25$ .

Majore la probabilité que le nombre de clients s'écarte de $300$ d'au moins $75$ . (2 points)
En déduire une minoration de $P(225 < X < 375)$ . (1 point)
Détermine un intervalle centré en $300$ dans lequel $X$ se trouve avec une probabilité d'au moins $0{,}96$ . (2 points)

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$V = 625$ : $P(|X - 300| \geqslant 75) \leqslant \dfrac{625}{75^2} = \dfrac{625}{5\,625} = \dfrac19 \approx 0{,}11$ .
$P(225 < X < 375) = 1 - P(|X - 300| \geqslant 75) \geqslant \dfrac89 \approx 0{,}89$ .
On cherche $\delta$ avec $\dfrac{625}{\delta^2} \leqslant 0{,}04$ , soit $\delta^2 \geqslant 15\,625$ , $\delta \geqslant 125$ . Alors $P(|X - 300| < 125) \geqslant 0{,}96$ : l'intervalle $]175\,;\,425[$ convient ( $\delta = 5\sigma$ ).

Exercice 3 (6 points) — Contrôle d'une machine

Une machine remplit des paquets de riz. La masse d'un paquet (en g) a pour espérance $\mu = 1\,000$ et pour écart type $\sigma = 10$ . Un contrôleur pèse un échantillon de $n$ paquets (masses indépendantes) et calcule la masse moyenne $M_n$ .

Donne $E(M_n)$ et $V(M_n)$ . (1 point)
Pour $n = 50$ , majore $P(|M_{50} - 1\,000| \geqslant 3)$ . (2 points)
Détermine une taille d'échantillon $n$ qui garantit $P(|M_n - 1\,000| \geqslant 2) \leqslant 0{,}05$ . (3 points)

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$E(M_n) = 1\,000$ ; $V(M_n) = \dfrac{100}{n}$ .
$P(|M_{50} - 1\,000| \geqslant 3) \leqslant \dfrac{100}{50 \times 9} = \dfrac29 \approx 0{,}22$ .
Il suffit que $\dfrac{100}{n \times 4} \leqslant 0{,}05$ , soit $n \geqslant \dfrac{100}{0{,}2} = 500$ . Un échantillon de $500$ paquets convient.

Exercice 4 (5 points) — Loi des grands nombres

Énonce la loi des grands nombres et démontre-la à partir de l'inégalité de concentration. (2,5 points)
Un joueur remarque qu'après 1 000 lancers d'une pièce, il a obtenu 520 piles. Il en conclut : « il va y avoir plus de faces dans les prochains lancers, pour compenser ». Qu'en penses-tu ? (1 point)
Écris une fonction Python frequence_pile(n) qui simule $n$ lancers d'une pièce équilibrée et renvoie la fréquence de pile. (1,5 point)

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Pour un échantillon de taille $n$ d'une loi d'espérance $\mu$ et de variance $V$ , et pour tout $\delta > 0$ , $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) = 0$ . Démonstration : $0 \leqslant P(|M_n - \mu| \geqslant \delta) \leqslant \dfrac{V}{n\delta^2}$ (concentration), et $\dfrac{V}{n\delta^2} \to 0$ ; par les gendarmes, la probabilité tend vers $0$ .
Il se trompe : les lancers sont indépendants, chaque lancer donne face avec probabilité $\frac12$ quoi qu'il se soit passé avant. La loi des grands nombres dit que la fréquence se rapprochera de $0{,}5$ (l'avance de 20 piles devient négligeable devant un très grand nombre de lancers), pas que les écarts en nombre seront « rattrapés ».
Par exemple :

from random import random

def frequence_pile(n):
    piles = 0
    for i in range(n):
        if random() < 0.5:
            piles = piles + 1
    return piles / n

print(frequence_pile(10000))   # proche de 0.5