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Calcul intégral et calculs d'aires — Entraînement type évaluation

Pour un entraînement qui sert vraiment à quelque chose : pas de cours sous les yeux, une feuille et un crayon. Note-toi ensuite avec le corrigé.

Barème indicatif : 20 points. Exercice 1 sans calculatrice ; calculatrice autorisée ensuite.

Exercice 1 (4 points) — Automatismes

Réponds directement (0,5 point par question).

$\displaystyle\int_0^2 3\,dx$ ?
$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx$ ?
$\displaystyle\int_1^2 f = 4$ et $\displaystyle\int_2^3 f = 1$ : $\displaystyle\int_1^3 f$ ?
Une primitive de $x \mapsto x^3$ ?
$\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$ ?
Valeur moyenne de $x \mapsto 4$ sur $[1\,;\,7]$ ?
$\displaystyle\int_{-1}^{1} x\,dx$ ?
$F(x) = \displaystyle\int_0^x \sqrt{1 + t^2}\,dt$ : $F'(x)$ ?

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$6$ .
$[x^2]_0^1 = 1$ .
$5$ .
$\dfrac{x^4}{4}$ .
$e - 1$ .
$4$ .
$0$ .
$\sqrt{1 + x^2}$ .

Exercice 2 (4 points) — Démonstration

Soit $f$ une fonction continue, positive et croissante sur $[a\,;\,b]$ , et $F(x) = \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ . En encadrant $F(x + h) - F(x)$ pour $h > 0$ , démontre que $\displaystyle\lim_{h \to 0^+}\frac{F(x + h) - F(x)}{h} = f(x)$ .

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Pour $h > 0$ , $F(x + h) - F(x) = \displaystyle\int_x^{x+h} f(t)\,dt$ est l'aire sous la courbe entre $x$ et $x + h$ . Comme $f$ est croissante, pour $t \in [x\,;\,x + h]$ , $f(x) \leqslant f(t) \leqslant f(x + h)$ : cette aire est comprise entre celles des rectangles de hauteurs $f(x)$ et $f(x + h)$ : $hf(x) \leqslant F(x + h) - F(x) \leqslant hf(x + h)$ . En divisant par $h > 0$ : $f(x) \leqslant \dfrac{F(x + h) - F(x)}{h} \leqslant f(x + h)$ . Comme $f$ est continue, $f(x + h) \to f(x)$ quand $h \to 0^+$ ; par encadrement, le quotient tend vers $f(x)$ .

Exercice 3 (6 points) — Aire d'un domaine

On considère $f(x) = -x^2 + 4x$ et $g(x) = x$ .

Détermine les abscisses des points d'intersection des deux courbes. (1,5 point)
Étudie la position relative des deux courbes sur $[0\,;\,3]$ . (1,5 point)
Calcule l'aire du domaine compris entre les deux courbes. (3 points)

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$-x^2 + 4x = x \iff -x^2 + 3x = 0 \iff x(3 - x) = 0 \iff x = 0$ ou $x = 3$ .
$f(x) - g(x) = x(3 - x) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,3]$ : la parabole est au-dessus de la droite.
$\mathcal A = \displaystyle\int_0^3 (-x^2 + 3x)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = -9 + \frac{27}{2} = \frac92$ u.a.

Exercice 4 (6 points) — Consommation électrique

La puissance électrique consommée par un bâtiment (en kW) entre $0$ h et $10$ h est modélisée par $P(t) = 20 + 10te^{-0{,}5t}$ . L'énergie consommée (en kWh) entre $0$ et $10$ h est $E = \displaystyle\int_0^{10}P(t)\,dt$ .

Vérifie que $G(t) = -(20t + 40)e^{-0{,}5t}$ est une primitive de $t \mapsto 10te^{-0{,}5t}$ . (2 points)
En déduire la valeur exacte de $E$ , puis une valeur arrondie au kWh. (2 points)
Calcule la puissance moyenne sur $[0\,;\,10]$ . (1 point)
Estime $E$ avec la méthode des trapèzes ( $n = 10$ ) et compare. (1 point)

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$G'(t) = -20e^{-0{,}5t} - (20t + 40)(-0{,}5)e^{-0{,}5t} = (-20 + 10t + 20)e^{-0{,}5t} = 10te^{-0{,}5t}$ .
$E = \left[20t + G(t)\right]_0^{10} = \left(200 - 240e^{-5}\right) - (0 - 40) = 240 - 240e^{-5} \approx 238$ kWh.
$\dfrac{E}{10} \approx 23{,}8$ kW.
Trapèzes avec $10$ bandes de $1$ h : environ $237{,}5$ kWh, soit un écart inférieur à $1$ kWh (moins de $0{,}4\,\%$ ).