Calcul intégral et calculs d'aires

Ce que tu sais déjà. Tu sais calculer des primitives (Primitives et équations différentielles) et des limites de suites (Suites et modèles discrets). Depuis Archimède, on cherche à calculer des aires limitées par des courbes ; au XVIIᵉ siècle, Newton et Leibniz ont découvert que ce problème est lié… au calcul des primitives. Thèmes d’étude associés : « Calculs d’aires », « Répartition des richesses, inégalités ».

1. Intégrale d’une fonction positive

Le plan est muni d’un repère orthogonal ; l’unité d’aire (u.a.) est l’aire du rectangle construit sur les vecteurs unités.

Définition. Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a\,;\,b]$. L’intégrale de $f$ de $a$ à $b$, notée $$\int_a^b f(x)\,dx,$$ est l’aire (en u.a.) du domaine compris entre la courbe de $f$, l’axe des abscisses et les droites $x = a$ et $x = b$.

Estimation par des rectangles. On découpe $[a\,;\,b]$ en $n$ bandes de largeur $h = \dfrac{b - a}{n}$ et on remplace chaque bande par un rectangle. Si $f$ est croissante, les rectangles « à gauche » donnent une valeur par défaut et ceux « à droite » une valeur par excès : l’intégrale est encadrée, et l’encadrement se resserre quand $n$ augmente.

Exemple. Avec $n = 4$ bandes de largeur $0{,}5$ pour $x \mapsto x^2$ sur $[0\,;\,2]$ : rectangles inférieurs : $0{,}5(0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 1{,}75$ ; supérieurs : $0{,}5(0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) = 3{,}75$. Donc $1{,}75 \leqslant \displaystyle\int_0^2 x^2\,dx \leqslant 3{,}75$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Propriétés

Pour des fonctions continues sur un intervalle contenant $a$, $b$, $c$ :

• Chasles : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx$ ;
• linéarité : $\displaystyle\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\displaystyle\int_a^b kf = k\int_a^b f$ ;
• positivité : si $f \geqslant 0$ sur $[a\,;\,b]$ ($a \leqslant b$), alors $\displaystyle\int_a^b f \geqslant 0$ ; si $f \leqslant g$, alors $\displaystyle\int_a^b f \leqslant \int_a^b g$.

→ S’entraîner : Exercice 2

3. Intégrale et primitive

Théorème. Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$. La fonction $F_a : x \mapsto \displaystyle\int_a^x f(t)\,dt$ est dérivable sur $I$ et $F_a' = f$ : c’est la primitive de $f$ qui s’annule en $a$.

Conséquence (calcul d’une intégrale). Si $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a\,;\,b]$ : $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \qquad\text{que l'on note}\qquad \big[F(x)\big]_a^b.$$

Exemples.

• $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = \frac83 \approx 2{,}67$ (bien entre $1{,}75$ et $3{,}75$).
• $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e - 1$ ; $\displaystyle\int_1^e \frac1x\,dx = \ln e - \ln 1 = 1$.

Fonctions de signe quelconque. La formule $F(b) - F(a)$ sert de définition de l’intégrale d’une fonction continue quelconque. Les parties sous l’axe des abscisses comptent négativement : $\displaystyle\int_0^{2}(x - 1)\,dx = 0$ (deux triangles d’aires égales, de signes opposés).

→ S’entraîner : Exercice 3 · Exercice 4

4. Aire entre deux courbes

Propriété. Si $f$ et $g$ sont continues et $f \geqslant g$ sur $[a\,;\,b]$, l’aire du domaine compris entre les deux courbes et les droites $x = a$ et $x = b$ est $$\mathcal A = \int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx.$$

Exemple. Sur $[0\,;\,1]$, $x \geqslant x^2$ : $\mathcal A = \displaystyle\int_0^1 (x - x^2)\,dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac16$ u.a.

Application : indice de Gini. Une courbe de Lorenz $L$ indique quelle part des revenus reçoit une proportion $x$ de la population la plus pauvre. L’aire entre la droite $y = x$ (égalité parfaite) et la courbe $L$, multipliée par $2$, est l’indice de Gini : $0$ pour une répartition parfaitement égalitaire, proche de $1$ pour une répartition très inégalitaire.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Valeur moyenne

Définition. La valeur moyenne d’une fonction continue $f$ sur $[a\,;\,b]$ ($a < b$) est $$\mu = \frac{1}{b - a}\int_a^b f(x)\,dx.$$ Si $f$ est positive, c’est la hauteur du rectangle de base $[a\,;\,b]$ qui a la même aire que le domaine sous la courbe.

Exemple. La température (en °C) au cours d’une journée est modélisée par $T(t) = -0{,}1t^2 + 2{,}4t + 8$ pour $t \in [0\,;\,24]$ (en heures). $\displaystyle\int_0^{24} T(t)\,dt = \left[-\frac{t^3}{30} + 1{,}2t^2 + 8t\right]_0^{24} = -460{,}8 + 691{,}2 + 192 = 422{,}4$, donc la température moyenne est $\mu = \dfrac{422{,}4}{24} = 17{,}6$ °C (alors que le maximum, atteint à midi, vaut $T(12) = 22{,}4$ °C).

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Méthodes numériques

Méthode des rectangles et des trapèzes. Remplacer les rectangles par des trapèzes (on relie les points de la courbe par des segments) améliore nettement la précision.

from math import exp

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * sum(f(a + k * h) for k in range(n))

def trapezes(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    return h * (f(a) / 2 + sum(f(a + k * h) for k in range(1, n)) + f(b) / 2)

print(rectangles(exp, 0, 1, 100))   # 1.7097...
print(trapezes(exp, 0, 1, 100))     # 1.71829...  (e − 1 ≈ 1,71828)

Méthode de Monte-Carlo. On tire au hasard un grand nombre de points dans un rectangle qui contient le domaine ; la proportion de points situés sous la courbe, multipliée par l’aire du rectangle, estime l’aire cherchée.

from random import random

def monte_carlo(n):
    dessous = 0
    for k in range(n):
        x, y = random(), random()
        if y <= x**2:
            dessous += 1
    return dessous / n       # proche de 1/3 pour n grand

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• $f \geqslant 0$ continue : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ = aire sous la courbe (u.a.) ; encadrement par rectangles.
• Chasles, linéarité, positivité.
• $x \mapsto \displaystyle\int_a^x f$ est la primitive de $f$ nulle en $a$ ; $\displaystyle\int_a^b f = F(b) - F(a)$.
• Aire entre deux courbes : $\displaystyle\int_a^b (f - g)$ si $f \geqslant g$. Valeur moyenne : $\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b f$.
• Rectangles, trapèzes, Monte-Carlo pour les valeurs approchées.