Terminale

Calcul intégral et calculs d'aires — Exercices d'application

1. Intégrale d’une fonction positive

↩ Revoir le cours

Exercice 1 — ⭐

Sans primitive, en utilisant des aires de figures usuelles, calcule $\displaystyle\int_0^3 2\,dx$ , $\displaystyle\int_0^4 x\,dx$ et $\displaystyle\int_{-2}^{2}\sqrt{4 - x^2}\,dx$ (on reconnaîtra un demi-disque).
Encadre $\displaystyle\int_1^2 \frac1x\,dx$ à l’aide de $2$ rectangles (fonction décroissante).

Voir le corrigé

Rectangle $3 \times 2$ : $6$ . Triangle de base $4$ et de hauteur $4$ : $8$ . Demi-disque de rayon $2$ : $\dfrac{\pi \times 2^2}{2} = 2\pi$ .
Bandes $[1\,;\,1{,}5]$ et $[1{,}5\,;\,2]$ . $f$ décroissante : par défaut $0{,}5\left(\dfrac{1}{1{,}5} + \dfrac12\right) \approx 0{,}583$ ; par excès $0{,}5\left(1 + \dfrac{1}{1{,}5}\right) \approx 0{,}833$ . (La valeur exacte est $\ln 2 \approx 0{,}693$ .)

2. Propriétés

↩ Revoir le cours

Exercice 2 — ⭐⭐

On sait que $\displaystyle\int_0^2 f(x)\,dx = 5$ , $\displaystyle\int_2^5 f(x)\,dx = -1$ et $\displaystyle\int_0^5 g(x)\,dx = 3$ .

Calcule $\displaystyle\int_0^5 f(x)\,dx$ et $\displaystyle\int_0^5 \big(2f(x) - g(x)\big)\,dx$ .
La fonction $f$ peut-elle être positive sur $[2\,;\,5]$ ?

Voir le corrigé

Chasles : $5 + (-1) = 4$ . Linéarité : $2 \times 4 - 3 = 5$ .
Non : si $f \geqslant 0$ sur $[2\,;\,5]$ , l’intégrale serait positive, or elle vaut $-1$ .

3. Intégrale et primitive

↩ Revoir le cours

Exercice 3 — ⭐⭐

Calcule les intégrales suivantes.

$\displaystyle\int_1^3 (2x + 1)\,dx$
$\displaystyle\int_0^1 (3x^2 - 4x + 5)\,dx$
$\displaystyle\int_0^{\ln 2} e^{2x}\,dx$
$\displaystyle\int_1^{e^2} \frac{3}{x}\,dx$
$\displaystyle\int_0^1 \frac{2x}{x^2 + 1}\,dx$

Voir le corrigé

$\left[x^2 + x\right]_1^3 = 12 - 2 = 10$ .
$\left[x^3 - 2x^2 + 5x\right]_0^1 = 4$ .
$\left[\dfrac{e^{2x}}{2}\right]_0^{\ln 2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac12 = \dfrac32$ .
$\left[3\ln x\right]_1^{e^2} = 6$ .
$\left[\ln(x^2 + 1)\right]_0^1 = \ln 2$ .

Exercice 4 — ⭐⭐⭐

Soit $F(x) = \displaystyle\int_0^x e^{-t^2}\,dt$ pour $x \in \mathbb{R}$ (on ne sait pas exprimer $F$ avec les fonctions usuelles).

Justifie que $F$ est dérivable et donne $F'(x)$ . Quel est le sens de variation de $F$ ?
Que vaut $F(0)$ ? Quel est le signe de $F(x)$ pour $x > 0$ ?
Estime $F(1)$ avec la méthode des trapèzes ( $n = 100$ ) en Python.

Voir le corrigé

$t \mapsto e^{-t^2}$ est continue : $F$ est sa primitive nulle en $0$ , donc $F'(x) = e^{-x^2} > 0$ . $F$ est strictement croissante.
$F(0) = 0$ ; $F$ croissante donc $F(x) > 0$ pour $x > 0$ .
trapezes(lambda t: exp(-t**2), 0, 1, 100) donne environ $0{,}7468$ .

4. Aire entre deux courbes

↩ Revoir le cours

Exercice 5 — ⭐⭐⭐

Courbe de Lorenz. Dans un pays, la courbe de Lorenz des revenus est modélisée par $L(x) = x^3$ sur $[0\,;\,1]$ : la proportion $x$ la plus pauvre de la population perçoit une part $L(x)$ du revenu total.

Quelle part du revenu perçoivent les $50\,\%$ les plus pauvres ?
Justifie que $L(x) \leqslant x$ sur $[0\,;\,1]$ .
Calcule l’aire entre la droite $y = x$ et la courbe de $L$ , puis l’indice de Gini $G = 2 \times$ cette aire.
Un autre pays a pour courbe de Lorenz $M(x) = x^2$ . Lequel est le plus égalitaire ?

Voir le corrigé

$L(0{,}5) = 0{,}125$ : $12{,}5\,\%$ du revenu.
$x - x^3 = x(1 - x^2) \geqslant 0$ sur $[0\,;\,1]$ .
$\displaystyle\int_0^1 (x - x^3)\,dx = \dfrac12 - \dfrac14 = \dfrac14$ ; $G = \dfrac12$ .
Pour $M$ : aire $\dfrac12 - \dfrac13 = \dfrac16$ , $G = \dfrac13 < \dfrac12$ : le second pays est plus égalitaire.

5. Valeur moyenne

↩ Revoir le cours

Exercice 6 — ⭐⭐

Calcule la valeur moyenne de $f(x) = x^2$ sur $[0\,;\,3]$ .
La concentration d’un polluant (en µg/m³) au cours des $10$ premières heures d’un pic est $C(t) = 50 + 30e^{-0{,}2t}$ . Calcule la concentration moyenne sur $[0\,;\,10]$ (valeur exacte puis arrondie à l’unité).

Voir le corrigé

$\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3 = \dfrac13 \times 9 = 3$ .
$\displaystyle\int_0^{10} C(t)\,dt = \left[50t - 150e^{-0{,}2t}\right]_0^{10} = 500 - 150e^{-2} + 150 = 650 - 150e^{-2}$ . Moyenne : $65 - 15e^{-2} \approx 63$ µg/m³.

6. Méthodes numériques

↩ Revoir le cours

Exercice 7 — ⭐⭐⭐

Approximation de π. Le quart de disque de rayon $1$ a pour aire $\dfrac\pi4$ ; c’est l’aire sous la courbe de $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ sur $[0\,;\,1]$ .

Modifie la fonction monte_carlo pour estimer $\pi$ .
Compare avec la méthode des trapèzes pour $n = 1\,000$ . Laquelle converge le plus vite ?

Voir le corrigé

from random import random

def pi_monte_carlo(n):
    dedans = 0
    for k in range(n):
        x, y = random(), random()
        if x**2 + y**2 <= 1:
            dedans += 1
    return 4 * dedans / n

print(pi_monte_carlo(100000))   # environ 3,14 (varie d'une exécution à l'autre)

4 * trapezes(lambda x: (1 - x**2)**0.5, 0, 1, 1000) donne environ $3{,}14155$ (erreur de l’ordre de $10^{-4}$ ), alors que Monte-Carlo avec $100\,000$ points donne en général seulement $2$ décimales justes : les trapèzes convergent beaucoup plus vite ; Monte-Carlo a l’avantage de fonctionner pour des formes compliquées.