Nombres complexes : module, argument, forme trigonométrique

Ce que tu sais déjà. Tu calcules avec la forme algébrique $a + ib$ et le conjugué (Nombres complexes : forme algébrique), et tu connais les vecteurs, les distances en repère orthonormé et le cercle trigonométrique (Première — Trigonométrie). Un nombre complexe, c’est aussi un point du plan : l’algèbre devient géométrie.

1. Le plan complexe

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct $(O\,;\,\vec u, \vec v)$.

Définitions.

• À tout nombre complexe $z = a + ib$ on associe le point $M(a\,;\,b)$, appelé image de $z$, et le vecteur $\overrightarrow{OM}$.
• Réciproquement, $z$ est l’affixe du point $M$ (et du vecteur $\overrightarrow{OM}$). On note $M(z)$.
• L’axe des abscisses est l’axe réel, l’axe des ordonnées l’axe imaginaire.

Propriétés. Pour des points $A(z_A)$ et $B(z_B)$ :

• l’affixe du vecteur $\overrightarrow{AB}$ est $z_B - z_A$ ;
• l’affixe du milieu de $[AB]$ est $\dfrac{z_A + z_B}{2}$ ;
• l’image de $\bar z$ est le symétrique de $M$ par rapport à l’axe réel ; celle de $-z$ est le symétrique par rapport à $O$.

→ S’entraîner : Exercice 1

2. Module d’un nombre complexe

Définition. Le module de $z = a + ib$ est le réel positif $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. C’est la distance $OM$.

Propriété. $|z_B - z_A| = AB$ : le module de la différence des affixes est la distance entre les points.

Exemples. $|3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5$ ; $|-2i| = 2$ ; pour un réel $x$, $|x|$ est la valeur absolue habituelle. Avec $A(1 + i)$ et $B(4 + 5i)$ : $AB = |3 + 4i| = 5$.

Propriétés. Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$ et tout entier naturel $n$ : $$|z|^2 = z\bar z, \qquad |\bar z| = |z|, \qquad |zz'| = |z|\,|z'|, \qquad |z^n| = |z|^n, \qquad \left|\frac1z\right| = \frac{1}{|z|}\ \text{et}\ \left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}\ (z, z' \neq 0).$$

Inégalité triangulaire. $|z + z'| \leqslant |z| + |z'|$ (la longueur d’un côté d’un triangle est inférieure à la somme des deux autres).

Exemple. $\left|\dfrac{(1 + i)^6}{3 - 4i}\right| = \dfrac{|1 + i|^6}{|3 - 4i|} = \dfrac{(\sqrt2)^6}{5} = \dfrac85$, sans développer.

→ S’entraîner : Exercice 2 · Exercice 3

3. Les nombres complexes de module 1

Définition. On note $\mathbb{U}$ l’ensemble des nombres complexes de module $1$. Leurs images forment le cercle trigonométrique (centre $O$, rayon $1$).

Propriétés. $\mathbb{U}$ est stable par produit et par passage à l’inverse : si $|z| = |z'| = 1$, alors $|zz'| = 1$ et $\left|\dfrac1z\right| = 1$. De plus, pour $z \in \mathbb{U}$, $\dfrac1z = \bar z$ (car $z\bar z = |z|^2 = 1$).

Exemples. $1$, $-1$, $i$, $-i$, $\dfrac35 + \dfrac45 i$ et $\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\sqrt2}{2}i$ sont dans $\mathbb{U}$.

→ S’entraîner : Exercice 4

4. Arguments

Définition. Soit $z$ un nombre complexe non nul, d’image $M$. On appelle argument de $z$ toute mesure $\theta$ (en radians) de l’angle orienté $\left(\vec u, \overrightarrow{OM}\right)$. On note $\arg(z) = \theta\ [2\pi]$ : un argument est défini à un multiple de $2\pi$ près.

Propriété. Si $z = a + ib \neq 0$ et $r = |z|$, un argument $\theta$ est caractérisé par $$\cos\theta = \frac ar \qquad\text{et}\qquad \sin\theta = \frac br.$$

Exemples.

• $\arg(5) = 0$, $\arg(-2) = \pi$, $\arg(3i) = \dfrac\pi2$, $\arg(-i) = -\dfrac\pi2\ [2\pi]$.
• $z = 1 + i$ : $r = \sqrt2$, $\cos\theta = \sin\theta = \dfrac{\sqrt2}{2}$, donc $\arg(z) = \dfrac\pi4\ [2\pi]$.
• $z = -\sqrt3 + i$ : $r = 2$, $\cos\theta = -\dfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin\theta = \dfrac12$, donc $\arg(z) = \dfrac{5\pi}{6}\ [2\pi]$.

Propriétés. $\arg(\bar z) = -\arg(z)$ et $\arg(-z) = \arg(z) + \pi\ [2\pi]$ (symétries du § 1). $z$ est un réel strictement positif si et seulement si $\arg(z) = 0\ [2\pi]$ ; un imaginaire pur non nul a pour argument $\pm\dfrac\pi2$.

→ S’entraîner : Exercice 5

5. Forme trigonométrique

Définition. Tout nombre complexe non nul s’écrit $$z = r(\cos\theta + i\sin\theta),$$ avec $r = |z| > 0$ et $\theta = \arg(z)$ : c’est sa forme trigonométrique.

Attention. Dans $r(\cos\theta + i\sin\theta)$, il faut $r > 0$ : $-2(\cos\theta + i\sin\theta)$ n’est pas une forme trigonométrique ; on l’écrit $2(\cos(\theta + \pi) + i\sin(\theta + \pi))$.

Égalité. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement si ils ont le même module et des arguments égaux modulo $2\pi$.

→ S’entraîner : Exercice 6

6. Ensembles de points

Le module traduit des distances : on peut décrire des ensembles de points $M(z)$.

• $|z - z_A| = r$ ($r > 0$) : $AM = r$, c’est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
• $|z - z_A| = |z - z_B|$ : $AM = BM$, c’est la médiatrice de $[AB]$.

Exemple. $|z - 2 - i| = |z + 1|$ : avec $A(2 + i)$ et $B(-1)$, c’est la médiatrice de $[AB]$. Par le calcul, avec $z = x + iy$ : $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2 + y^2 \iff -6x - 2y + 4 = 0 \iff y = -3x + 2$.

→ S’entraîner : Exercice 7

À retenir.

• $M(z)$ : affixe de $\overrightarrow{AB}$ = $z_B - z_A$ ; milieu $\dfrac{z_A + z_B}{2}$.
• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = OM$ ; $|z_B - z_A| = AB$ ; $|z|^2 = z\bar z$ ; $|zz'| = |z||z'|$ ; $|z^n| = |z|^n$.
• $\mathbb{U}$ = cercle trigonométrique, stable par produit et inverse ; pour $z \in \mathbb{U}$, $\dfrac1z = \bar z$.
• $\arg(z)$ : $\cos\theta = \dfrac ar$, $\sin\theta = \dfrac br$ ; forme trigonométrique $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ avec $r > 0$.
• $|z - z_A| = r$ : cercle ; $|z - z_A| = |z - z_B|$ : médiatrice.